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"Se gli allievi non capiscono, il torto è dell'insegnante che non sa spiegare"
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Giuseppe 
Peano 
Lived from
1858 to 1932
Giochi di aritmetica
e problemi interessanti

(Mathematical Recreations
and interesting problems)

| Ultima parte |
Ricreazioni matematiche
dal celebre volumetto di Giuseppe Peano
(Torino, Paravia, 1925)
More mathematical recreations (in original language) from the famous booklet of
Giuseppe Peano

Numerazione parlata
(Per visualizzare le lettere greche occorre la font Symbol)
I numeri sono espressi in italiano colle parole 1 uno, 2 due, 3 tre, 4 quattro, 5 cinque, 6 sei, 7 sette, 8 otto, 9 nove, 10 dieci 100 cento, 1000 mille.

Esse derivano dal latino 1 uno, 2 duo, 3 tres, 4 quatuor, 5 quinque, 6 sex, 7 septem, 8 octo, 9 novem, 10 decem, 100 centum, 1000 mille. In alcuni libri sta scritto che l'italiano uno viene dal latino unus, il che, letteralmente inteso, non è giusto; poche parole italiane derivano dal nominativo latino; in generale derivano dai casi obliqui, e la forma più prossima all'italiano è l'ablativo.

La stessa origine hanno le parole francesi: 1 un, 2 deux, 3 trois, 4 quatre, 5 cinq, 6 six, 7 sept, 8 huit, 9 neuf, 10 dix, 100 cent, 1000 mille.

Come pure le spagnuole: 1 uno, 2 dos, 3 tres, 4 cuatro, 5 cinco, 6 seis, 7 siete, 8 ocho, 9 nueve, 10 diez, 100 ciento, 1000 mil.

E le portoghesi: 1 um, 2 dous, 3 tres, 4 quatro, 5 cinco, 6 seis, 7 sete, 8 oito, 9 nove, 10 dez, 100 cento, 1000 mil.

Parimenti nel rumeno: 1 un, 2 doi, 3 trei, 4 patru, 5 cinci, 6 sese, 7 septe, 8 optu, 9 noua, 10 diéce, 100 suta, 1000 mie.

La lingua italiana contiene pure tutta la numerazione greca, in derivati:

1 en, L. (latino) hen- in hendecasyllabo, I. endecasillabo = verso di 11 sillabe. Greco monoV, mono- = unico, si trova in L. monacho, I. monaco, = colui che vive solo; monade = unità.; L. monarcha, I. monarca = comandante unico; monogamo = chi sposa una sola donna; monographia = scritto su un solo soggetto; monopolio = vendita unica; monotheismo = che ammette un solo Dio; monotono = di un solo tono.

2 duo di-: diedro = con due faccie; dilemma = con due assunzioni; diploma = duplicato; L. diptero, I. dittero = con due ali; disticho = di due versi.

3 treiV tri-: tripode = con tre piedi; triade = terna; trigonometria = misura dei triangoli.

4 tessareV tetra-: tetragono = con quattro angoli; tetraedro = con quattro faccie.

5 pente pente: pentametro = verso di cinque misure; pentagono = con cinque angoli.

6 ex hex: L. hexaedro, I. esaedro = solido con sei faccie, cubo; L. hexagono, I. esagono = con sei angoli; L. hexametro ecc.

7 epta hepta: L. heptagono, I. ettagono, = poligono di sette angoli; L. hebdomadario, I. ebdomadario = della settimana.

8 oktw octo: L. octogono, I. ottagono, ottaedro.

9 ennea ennea: ennea-gono = poligono di nove angoli.

10 deka deca: deca-gono; deca-metro = dieci metri; deca-gramma; dècade = decina.

100 ekaton hecaton: hecatombe, I. ecatombe = sacrificio di cento buoi; Franc. hecto-gramme, I. ettogramma = cento grammi.

1000 cilioi chilioi: chiliade = migliaio; Francese kilo-mètre, I. chilometro = mille metri.

10000 muria myria: Francese myriagramme, I. miria-gramma.

Altri numeri greci viventi in Italiano:

11: L. hendeca-syllabo, I. endecasillabo.

12: dodeca-edro.

20: icos-a-edro.

50: pentecoste = cinquantesimo giorno a partire da Pasqua = Pasqua + 49 d.

Tutte le parole italiane derivate dal greco sono internazionali.

La lingua inglese contiene tutta la numerazione greca, nelle parole citate; e contiene tutti i numeri latini nei derivati: 1 un-ity, 2 du-al, 3 tri-angle, 4 quàdru-ple, 5 quinqu-ennial, 6 sex-tant, 7 septem-ber, 8 octo-ber, 9 novem-ber, 10 decem-ber, 100 cent-i-grade, 1000 milli-metre.

I numeri, come parole isolate, hanno in inglese la forma:
1 one, 2 two, 3 three, 4 four, 5 five, 6 six, 7 seven, 8 eight, 9 nine, 10 ten, 100 hundred, 1000 thousand.

La lingua tedesca parimenti contiene nei derivati, tutti i numeri greci e i latini; nella lingua popolare si usano le parole:
1 ein, 2 zwei, 3 drei, 4 vier, 5 fünf, 6 sechs, 7 sieben, 8 acht, 9 neun, 10 zehn, 100 hundert, 1000 tausend.

La lingua russa si scrive con un alfabeto simile al greco, da cui deriva, e il cui studio esige alcuni minuti. E allora nel vocabolario russo troviamo tutti i numeri greci e latini, nei derivati; in lingua popolare i numeri si pronunziano all'incirca: 1 ino-, 2 dva, 3 tri, 4 cetirie, 5 piat, 6 sest, 7 sem, 8 vosem, 10 desiat, 100 sto.

Risulta evidente una similitudine fra i nomi dei numeri in latino, greco, nelle lingue germaniche, e nelle slave, cui appartiene il russo. La somiglianza diventa più chiara paragonandoli coi nomi della lingua sanscrita:
1 eca, 2 dva, 3 eri, 4 ciatur, 5 pancian, 6 sas, 7 saptan, 8 astan, 9 navan, 10 dasan, 100 sala, all'incirca.

Mentre le lingue italiana, francese, spagnuola, portoghese, rumena, colle numerose lingue secondarie, dette dialetti, derivano in tempi storici dal latino, i linguisti ammettono una lingua preistorica, detta indo-europea, da cui derivano il latino, il greco, le lingue germaniche, le slave, il sanscrito, ed altre lingue dell'Asia.

Esaminando più attentamente la similitudine, si trova lÍ identità.

2 due comincia con d in latino, greco, russo e sanscrito.
In Inglese troviamo in corrispondenza il t: duo / two, decem / ten, dente / tooth, doce / teach = insegnare; e in mezzo meno regolare: pede / foot, foot-ball = palla che si gioca coi piedi; corde / heart, ede / eat =mangiare, ad / at, quod / what.

3 tre comincia con t in latino, greco, russo, sanscrito, ma in inglese con th: tres three, tu thou, tecto thatch, dente tooth, pater father, mater mother.

5 cinque comincia con p in greco pente, in russo e sanscrito; e al p indo-europeo risponde regolarmente l'inglese f: pater / father, pede / foot, per / for, pisce / fish, lupo / wolf, pelle / fell, film = pellicola. Si ritiene che il latino quinque derivi per assimilazione da un penque, che si trova in lingue italiche, p. es., nel nome Pontio (Pilato), che significa quinto.

6 e 7 cominciano per s in latino, inglese, tedesco, russo, sanscrito, cui corrisponde in greco h, o lo spirito aspro: sex hex; septem hepta; semicirculo hemicyclo; sede (sedia), hedra, poly-hedro = solido con molte sedi (faccie); super hyper-bola; sopore somno, hypno-tismo.

L. septem, novem, decem rispondono al greco hepta, ennea, deca, cioè la sillaba em risponde al greco a; anche ad en risponde -a: L. nomen, greco onoma-stico, L. centum greco he-caton; I. in-nominato, greco an-onymo.

Greco hecaton deve essere decomposto in he-, che significa 1, e caton corrispondente a centum. Al c latino-greco risponde regolarmente h nelle lingue germaniche: L. centum inglese hundred (-red è un suffisso); capite / head; citra / hither; colle / hill; corde / heart; cornu / horn.

1000 mille è espresso nelle varie lingue da nomi differenti. Ciò per le parole popolari; poichè tutte le nazioni di origine europea hanno il vocabolario scientifico latino-greco.

Le lingue europee sono strettamente collegate, e si possono studiare facilmente colla guida di queste relazioni. Il lettore può consultare utilmente:

Ing. C. CANESI, Vocabolario interlingua-italiano-inglese, Paravia 1921, il quale contiene 10.000 parole comuni al latino, all'italiano e all'inglese, scritte sotto la triplice ortografia, e che bastano a costituire una lingua intelligibile senza studio da chi conosce o il latino o l'inglese o un'altra lingua d'Europa, e interpretabile, in caso dubbio, col solo vocabolario latino.

Gli studiosi di matematica possono leggere con molto profitto l'articolo della prof. L. VIRIGLIO, Le parole italiane di matematica derivate dal greco, pubblicato nel Bollettino di Matematica, diretto dal prof. CONTI, anno 1919. Ivi si trova l'origine ultima, la scomposizione in elementi e il significato delle parole di cui facciamo uso continuo.



Problemi pratici
Lo scopo della matematica è di risolvere i problemi numerici che si incontrano nella vita pratica. Questi problemi interessano gli allievi molto più che i calcoli su numeri astratti, o su lettere, dei quali calcoli gli allievi non veggono alcuna applicazione, perchè spesso non ne hanno.

Sonvi altre questioni, quali i quadrati magici, i giochi degli scacchi, che trovansi nei libri dei giochi, ed altre in matematica pura, che, senza applicazione pratica, riescono piacevoli ad alcuni; ma non debbono essere imposti agli altri.

Nel corrente anno 1923-24, i professori di matematica nelle scuole medie devono pure insegnare fisica e computisteria. Dopo pochi mesi, nelle loro riunioni periodiche nei locali dell'Università di Torino, essi si dimostrarono contenti, anzi entusiasti delle nuove disposizioni, che permettono di applicare la matematica pura, e di uniformare i differenti i linguaggi.

1. Da Torino a Milano in ferrovia sonvi chilometri 150, e da Milano a Venezia chilometri 265. Quanti in tutto?
SOLUZIONE 1. - km 150 + km 265 = km 415.
Si opera sulle grandezze, e il risultato è la risposta.
SOLUZIONE 2. - 150 + 265 = 415; sonvi 415 km.
Si opera su numeri, e si risponde con una grandezza.
SOLUZIONE 3. - 150 + 265 = 415 km.

Questa ultima scrittura è diffusissima nei libri di matematica applicata alla computisteria, ingegneria, fisica, ecc. Ma i matematici puri la dicono falsa, perchè il numero astratto 150 + 265 non può essere eguale alla grandezza, o numero concreto 415 chilometri.
Coloro che usano la scrittura 3, la interpretano
(150 + 265 = 415) km.
La stessa questione fu trattata a pag. 22. La notazione 1 non si presta ad ambiguità, e dà come risultato la risposta.

2. Da Roma a Pisa sonvi km 334; da Pisa a Genova km 165; di qui a Torino km 166; da Torino a Modane 105, ed altri 135 per arrivare a Culoz, e fatti ancora 559 km, si arriva a Parigi. Di quanti chilometri consta il percorso Roma-Torino-Parigi?
L'insegnante volenteroso, collÍorario delle ferrovie, o anche colla guida della propria città, potrà variare questi problemi di addizione.

3. La guerra di Troia
Omero nel II canto della Iliade narra che i Greci avevano condotte all'assedio di Troia le navi seguenti: I Beoti andarono su 50 navi, i Miniei su 30, i Focei ne avevano 40 nere. I Locrei, sotto il comando del veloce Aiace, 40; gli Abanti di Eubea 40; gli Ateniesi ne trassero 50, e 12 gli abitanti di Salamina. Quelli di Argo, guidati dal buon Diomede, avevano 80 navi. Il re Agamennone ne condusse 100 da Micene, e 60 gli Spartani, duce Menelao, cui Paride rapi la moglie Elena. 90 profonde navi venivano da Pilo, duce il vecchio Nestore. Gli Arcadi erano venuti su 60 navi; 40 veloci venivano dall'Elide, 40 nere dalle isole Echinadi; 12 rosse ne guidava il saggio Ulisse. Gli Etoli ne conducevano 40, 80 gli abitatori di Creta; 9 venivano da Rodi, 3 da Sima, 30 profonde da Nisiro. Il veloce Achille guidava
i Mirmidoni di Ftia su 50 navi. Seguono 40 da Filace, 11 da Fere, 7 da Metone, 30 profonde da Tricca, sotto la guida dei figli di Esculapio, 40 da Ormenio, 40 da Argissa, 22 da Cifo. E 40 nere navi avevano i Magneti.
Quante erano le navi greche all'assedio di Troia?
RISPOST4: 1186.

4. Il governo d'Italia, dal 10 luglio 1918 al 30 giugno 1919 vendette:
26 407 648 000 fiammiferi di cera
2 595 450 000 fiammiferi di legno paraffinato
29 235 683 000 fiammiferi solforati.
Quanti in tutto?

5. L'altezza sul suolo della Torre Eiffel a Parigi, è di 300 metri, quella dell'Obelisco di Washington di 169 metri, quella della Mole Antonelliana, a Torino, di 164 metri. La più alta delle piramidi d'Egitto misura 142 metri, la cupola ili San Pietro a Roma 132 metri.
Qual è la differenza delle altezze di due di questi edifici?

6. Piazza San Carlo in Torino è un rettangolo di lati 170 m e 75 m Quanta è la sua area?
RISPOSTA: 170 m x 75 m = 12750 m2.
Si applica la regola «L'area d'un rettangolo vale il prodotto dei due lati». Alcuni autori dicono «La misura dell'area d'un rettangolo vale il prodotto delle misure dei due lati»; ma questa frase, più lunga, risulta incompleta; la «misura di una grandezza» ha senso solo se si enuncia il denominatore, detto unità di misura. Così «il valore d'una frazione, il cui numeratore è 2 », è frase senza senso.
Vedasi un mio articolo «Area de rectangulo» in Rassegna di Matematica, Roma 1921.
L'insegnante, ove lo creda opportuno, può definire «prodotto di due lunghezze è il rettangolo da esse compreso», secondo il linguaggio di Euclide. La parola prodotto, in questo senso si trova in Herone, matematico verso l'anno 150 a. C., e poi in tutti i matematici, fino agli ultimi tempi.

7. Per tenere accesa una lampada elettrica, detta di 50 candele, occorre la potenza di 75 watt. La lampada rimanga accesa per 2 ore al giorno per 30 giorni, cioè per 60 ore. Per avere l'energia consumata dalla lampada, moltiplico i watt per le ore, ed ottengo
75 watt X 60 ore = 4500 watt-ora = 45 ettowatt-ora.
E sapendo che questa energia si paga L. 0.07 per ogni etto-watt-ora, la spesa dell'illuminazione ammonta a L. 3.15 al mese, oltre altre spese.

8. Cambi
Nei giornali si legge: cambi alla borsa di Torino, il 22 gennaio 1924: Parigi 104.10; Svizzera 397.80; Londra 97.20; New York 23.07.
Ciò significa:
100 franchi francesi = 104.10 lire italiane,
o più semplicemente
franco francese = 1.041 lire
franco svizzero = 3.978 lire
sterlina = 97.20 lire
dollaro = 23.07 lire.
Valutare in franchi francesi la lira italiana, il franco svizzero, la sterlina, il dollaro.
Si ha lira = franco fr. / 1.041 = 0.960 fr. francesi.
Sostituisco nelle altre eguaglianze:
franco svizzero = (3.978/10041) fr. fr. = 3.821 fr. fr.

9. Nello stesso giorno dell' esercizio precedente, la borsa di Parigi quota: Italia 96.10; Svizzera 382; Londra 93.32, New York 22.11.
Valutare in lire italiane il franco francese, lo svizzero, la sterlina, il dollaro.
Converrà che l'insegnante prenda i dati dall'ultimo giornaIe; risolvendo questi problemi, l'allievo si esercita nelle moltiplicazioni e divisioni, si informa della vita sociale, e impara la computisteria. Questa è una semplicissima applicazione dell'aritmetica, ma in cui si usa un'altra nomenclatura, sicchè apparisce come una scienza nuova ai matematici puri.
Per calcolare 3.0978/1.041 dell'esercizio precedente, possiamo calcolare 1/1.041, e moltiplicare il risultato per 3.978; e si dice allora che si applica il metodo di «riduzione alla unità». Oppure si divide 3.978 per 1.041, e si ha il metodo delle «proporzioni». Questa nomenclatura, che in parte rimonta ad Euclide, è un duplicato delle notazioni aritmetiche.

10. Data l'altezza ,dell'albero maestro d'una nave, trovare l'età del capitano.
È questo un celebre esempio di problema, dato come insolubile. Il filosofo-matematico Richard se ne occupò nella Revue de Métaphisique a. 1920.
Il problema si risolve sapendo che quella nave si trovava presso Genova; alla capitaneria di porto trovasi la descrizione delle navi che frequentano il porto. Da questo registro deduciamo il nome della nave; in altro registro leggiamo il nome del capitano, e dall'ufficio di anagrafe ricaviamo la sua età. Quasi tutti i problemi che si presentano in pratica sono della natura di questo.
Chi deve risolverli, cercherà gli elementi che mancano; ovvero li supporrà, dicendo ben chiaro che cosa suppone. Così il problema «dato lo statuto di una società di assicurazione, trovarne il funzionamento futuro», è della natura considerata.
Un problema simile è il seguente:

11. Si domanda quanto vale l'argento contenuto in una moneta d'argento da una lira, coniata prima del 1914.
Per risolvere questo problema, dobbiamo cercare gli elementi che ci occorrono.
Dalle tavole delle monete italiane, si ha che la moneta da una lira pesa 5 grammi ed ha il titolo di 835/1000; cioè:
moneta da 1 lira = 0.835 x 5 grammi d'argento puro...(1).
Nei giornali leggo la borsa di Londra, 22 gennaio 1924 «argento 337/8»
Ciò significa:
oncia d'argento al titolo 925/1000 vale denari 337/8.
Dalle tavole di comparazione delle misure inglesi colle metriche, ho che l'oncia, di cui qui si parla, vale 31.1 grammi.
Il denaro, che in inglese si scrive d, e si pronuncia penny (plurale pence, e anche penny), vale la sterlina/240.
La borsa di quel giorno dà sterlina = 97.06 lire.
Quindi questa informazione inglese, tradotta in italiano, significa:
31.1X0.925 gr. d'argento puro=33.875 x 97.06/240 lire...(2).
Dalla (1) e (2) ricavo:
moneta da una lira
= 0.835 x 5 x 33.875 x 97.06/240/31.1/0.925 lire = 1.98 lire.
Siccome il valore intrinseco delle monete d'argento è oggi doppio del loro valore nominale, esse sono scomparse dalla circolazione.

12. Negli ultimi giochi olimpici, nel 1920 ad Anversa, il campione podista percorse 200 metri in 22 secondi. Quale fu la sua velocità in metri al secondo, ed in chilometri all'ora?
La velocità vale lo spazio diviso pel tempo. Onde:
Velocità = 200 metri /22 secondi = 9.09 metri /secondo; che si legge 9.09 metri al secondo.
Per avere la velocità all'ora, osservo che hora= 60 X 60 sec. Quindi velocità = 9.09 X 3600 metri /hora = 32.7 km. /hora.
Però questo campione non avrebbe percorso 32 chilometri in un'ora, come risulta dall'esempio seguente.

13. Negli stessi giochi olimpici, il campione della Maratona ottenne il record 42 600 metri in 2 h 32 m 35 s. Quale fu la sua velocità?
Essa vale 42 600 metri /2 h 32 m 35 s.
Riduco il tempo in frazione decimale di ore = 2.543 h.
Velocità = 42.6 km / 2.543 h = 16.7 km /h.
Questa velocità è inferiore alla precedente.

L'insegnante volenteroso, servendosi degli orarii delle ferrovie, delle gazzette dello sport, può far calcolare la velocità dei treni, delle ultime corse podistiche, di velocipedi, motocicli, automobili, aeroplani, con grande soddisfazione dei giovinetti.

14. Una donna ha comperato 4 chilogrammi di zucchero, a 5 lire al chilogramma. Quanto ha speso?

1 SOLUZIONE: 4 kg x (5 L / kg) = (4 x 5 = 20) lire.
I chilogrammi, ripetuti due volte, vanno via, e rimangono le lire. Così tutti ragionano. La notazione dice che il kg una volta è fattore, e l'altra divisore.

2 SOLUZIONE: Se per 1 kg. spende 5 lire, per 4 kg spende 4 volte di più, cioè 5 x 4 = 20 lire. Il risultato 20 L è omogeneo col moltiplicando 5, che era unito alle lire.
Questa regola si trova in molti libri di Aritmetica.

3 SOLUZIONE: Se per 4 kg. a 1 lira al kg. spende 4 lire, allora a 5 lire al kg. spende 5 volte di più, cioè
4 x 5 = 20 lire. Il risultato, che è delle lire, è omogeneo col moltiplicatore, e non col moltiplicando 4 che era unito ai chilogrammi.
La cosa è naturale, poichè nel prodotto, possiamo commutare moltiplicando e moltiplicatore.

Vedasi, su questa questione, in cui varie sono tuttora 16 opinioni, un mio articolo Operazioni sulle Grandezze, in «Atti R. Accademia delle Scienze» di Torino, 19 marzo 1922, tradotto in interlingua « latino sine flexione» col titolo: Operationes super magnitudines, in «Rassegna di Matematica», Roma 1922.
BURALI-FORTI, Aritmetica pratica, Torino, ed. Gallizio, 1913.
BANDINI e CIAMBERLINI, Elementi di Geometria, editori G. B. Paravia & C., Torino, 1916.
CATANIA, Elementi di Aritmetica ed Algebra, ed. Giannotta, Catania.

Conclusione
L'insegnante di buona volontà potrà combinare problemi simili e migliori dei precedenti, onde rendere attraente lo studio.
La differenza fra noi e gli allievi affidati alle nostre cure sta solo in ciò, che noi abbiamo percorso un più lungo tratto della parabola della vita. Se gli allievi non capiscono, il torto è dell'insegnante che non sa spiegare. Nè vale addossare la responsabilità alle scuole inferiori. Dobbiamo prendere gli allievi come sono, e richiamare ciò che essi hanno dimenticato, o studiato sotto altra nomenclatura. Se l'insegnante tormenta i suoi alunni, e invece di cattivarsi il loro amore, eccita odio contro sè e la scienza che insegna, non solo il suo insegnamento sarà negativo, ma il dover convivere con tanti piccoli nemici sarà per lui un continuo tormento. Ognuno si fabbrica la sua fortuna, buona o cattiva. Ohi è causa del suo mal, pianga sè stesso. Così disse Giove, e lo riferisce Omero, Odissea I, 34. Con questi principî, caro lettore e collega, vivrai felice.

Giochi di Aritmetica, Peano © Archimedes Lab
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