63 ricreazioni
matematiche
dal celebre volumetto di Giuseppe Peano
(Torino, Paravia, 1925) |
63 mathematical
recreations (in original language) from the famous
booklet of
Giuseppe Peano |
1. Quadrato
Magico
Nel quadrato qui sotto sono scritti i numeri 1, 2,
3, ...9. Si verifichi che la somma dei numeri scritti
su d'una stessa orizzontale, o su d'una stessa verticale,
o su una delle due diagonali, è sempre 15, e
cioè 2 + 7 + 6 = 9 + 5 + 1 = 4 + 3 + 8 = 2 +
9 + 4 = 7 + 5 + 3 = 6 + 1 + 8 = 2 + 5 + 8 = 4 + 5 +
6 = 15.
Sono tutte le scomposizioni di 15 nella somma di tre
numeri 1, 2, ...9. I numeri 1, 3, 7, 9 entrano
in due somme, i numeri 2, 4, 6, 8 in tre, e il
5 entra in quattro somme. Gli antichi Magi di Persia,
che erano anche medici, curavano le malattie applicando
sulla parte inferma un quadrato magico, seguendo
il principio di medicina, ed anche di didattica:
primum non nocère, primo principio: non
nuocere. Questi quadrati erano pure noti agli antichi
Cinesi, agli Indiani e Arabi verso l'anno 800 ed
in Europa verso il 1300. Servono nella scuola come
esercizio di addizione.
2.
I numeri da 1 a 16 sono disposti in questo quadrato,
in modo che si ottiene sempre 34 sommando i numeri
di una stessa orizzontale, o d'una stessa verticale,
o d'una diagonale; o anche sommando in altri modi
quattro numeri della tabella; per es. 1 + 14
+ 7 + 12 = 34; 1 + 6 + 16 + 11 = 34, in 86
modi diversi.
1 |
14 |
4 |
15 |
12 |
7 |
9 |
6 |
13 |
2 |
16 |
3 |
8 |
11 |
5 |
10 |
3.
Dispongo i numeri da 1 a 6 sui vertici e lati di
un triangolo, come nella figura La somma dei numeri
che stanno su d'un medesimo lato, vale 11; cioè
2 + 3 + 6 = 2 + 5 + 4 = 6 + 1 + 4 = 11. Questo triangolo,
come il seguente, dicesi magico.
4.
La somma dei numeri scritti su di uno stesso lato
di questo triangolo vale 20. La somma del numero
scritto in un vertice coi quattro numeri vicini vale
25. La somma dei due numeri medi di un lato, meno
il numero del vertice opposto vale 5. La somma dei
quadrati dei numeri d'uno stesso lato vale 126.
5. Tavole
misteriose
Pensa un numero da 1 a 15, e dimmi in quali delle seguenti
tavole esso si trova:
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
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|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
6 |
7 |
10 |
11 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
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|
|
4 |
5 |
6 |
7 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
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|
|
|
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
Il
numero pensato è la somma dei primi numeri
delle tavole in cui si trova. Le tavole si costruiscono
in questo modo: Si scrive 1 in capo alla prima, e
2 in capo alla seconda; poi 3 = 2 + 1 si scrive nelle
tavolette comincianti con 2 ed 1;poi 4 si scrive
a capo della terza tavola; 5 = 4 + 1 si scrive nelle
tavole comincianti con 4 ed 1; 6 = 4 + 2 si scrive
nelle tavole con 4 e 2; 7 = 4 + 2 + 1 nelle tavole
con 4, 2, 1; poi 8 a capo di una nuova tavola; e
così via.
Problemi
capziosi
Così si chiamano alcuni problemi, in cui la
risposta vera non è quella che prima si presenta
alla mente. Sono dilettevoli, ed acuiscono la mente.
Molti di questi problemi sono estratti da una raccolta
della prof.a P. QUARRA, in Bollettino di Matematica,
del prof. Conti, a. 1919.
6.
Si ha una fune lunga metri 7 e se ne taglia ogni
giorno un metro. Dopo quanti giorni la fune sarà tagliata?
RISPOSTA: Dopo 6 giorni (e non 7).
7.
Si hanno 14 soldati in fila. La distanza fra un soldato
e l'altro è di metri 3. Quale è la
distanza dal primo all'ultimo soldato?
RISPOSTA: m. 3 x 13. Il problema è simile al
precedente.
8. Importanza
dello zero
Un tale scrive ad un venditore di animali: "mandatemi
1 o 2 gatti". Dopo qualche giorno si vede arrivare
una grossa gabbia, piena di gatti, accompagnata da
una lettera del venditore che diceva: "per ora
vi mando 58 gatti; la settimana prossima manderò gli
altri 44". Donde è nato l'equivoco?
9.
Una lumaca si arrampica lungo un muro alto 5 metri.
Ogni giorno sale tre metri e ogni notte discende
2 metri. Dopo quanti giorni la lumaca avrà raggiunto
la cima del muro?
RISPOSTA: Dopo 3 giorni (e non dopo cinque).
10.
In uno scaffale erano disposti per ordine i tre volumi
di Dante, ognuno di 100 fogli. Un tarlo cominciò a
rodere il primo foglio del primo volume e procedendo
diritto, finì col rodere l'ultimo foglio dell'ultimo
volume. Quanti fogli egli rose?
RISPOSTA: 102, perché i volumi sono ordinati
da sinistra a destra, e i fogli dei volumi risultano
ordinati da destra a sinistra; il primo foglio del
primo volume è adiacente al secondo volume,
come pure l'ultimo foglio del terzo volume.
11.
Ogni minuto dal centro di una città parte
una vettura che va alla stazione in 7 minuti e poi
ritorna. Una vettura che va dal centro alla stazione
quante vetture incontrerà?
RISPOSTA: 13 ( e non 7 né 14); poiché 14
sono le vetture che fanno servizio, e una di esse incontra
le altre 13.
12.
Si stima che la superficie del capo umano portante
capelli è di 775 cm2 e che ogni
cm2 contiene al massimo 165 capelli. Dimostrare
che in una città di 150 000 abitanti vi sono
due persone che hanno lo stesso numero di capelli.
RISPOSTA: Il massimo numero di capelli che può avere
una persona é 775 x 165 = 123 875 < 150
000.
13.
Due fratelli avevano insieme 40 soldi; se li divisero;
il primo con 20 soldi compera delle uova ad 1 soldo
l'uno e le vende a 2 soldi; il secondo compra delle
uova a 2 soldi l'uno e li rivende a 1 soldo; poi
rimettono insieme i loro soldi. Hanno guadagnato?
RISPOSTA: Guadagnarono 10 soldi. Questo problema, con
altri seguenti, trovasi nel General Trattato di numeri
et misure, di TARTAGLIA, illustre matematico, nato
a Brescia nel 1506, morto a Venezia nel 1557.
14.
Due piroscafi A e B sono partiti insieme per un viaggio
di 6000 miglia all'andata e altrettanti al ritorno.
Il piroscafo A mantiene una velocità di 8
miglia all'ora nell'andata e 12 miglia all'ora nel
ritorno; il piroscafo b mantiene una velocità costante
di 10 miglia all'ora. Arrivano essi insieme al luogo
di partenza?
RISPOSTA: B precede A di 50 ore.
15.
Una fruttivendola vende 30 pere a 3 per un soldo
e poi 30 pere a 2 al soldo. Un'altra vende 60 pere
a 5 per 2 soldi. Chi ha ritirato di più?
RISPOSTA:Ha ritirato di più la prima, la quale
ritirò 25 soldi, mentre la seconda ne ritirò 24.
16.
Di due commessi, l'uno riceve £ 1000 alla fine
di ogni mese con l'aumento di £ 20 dopo ogni
mese di servizio. Un altro riceve £ 500 alla
quindicina con l'aumento di £ 5 ogni quindicina.
Chi guadagna di più?
RISPOSTA: Il secondo guadagna 5 lire al mese di più del
primo.
17.
Due viaggiatori, uno dei quali ha 5 pani e l'altro
7 pani, ne incontrano un terzo affamato, che li invita
a dividere seco lui la loro provvista. I tre viaggiatori
mangiano insieme ed il terzo sopraggiunto, accomiatandosi
dalla compagnia, lascia come retribuzione di quanto è stato
a lui ceduto, 12 monete. Come dovranno essere divise
le monete fra i due compagni?
RISPOSTA: Le monete si dovranno ripartire in parti
proporzionali ai numeri 1 e 3. Questo problema, con
altri simili, si trova nel "Liber Abaci" di
LEONARDO PISANO, filio Bonacii, anno 1202, pag. 283.
18.
Un Arabo morendo lasciò ai suoi tre figli
17 cammelli in eredità e ordinò che
la metà di essi fosse data al primo figlio,
la terza parte al secondo, e la nona al terzo figlio.
I tre figli si rivolsero per la divisione al cadì,
il quale enne con il proprio cammello, che unì agli
altri. Diede la metà dei 18 cammelli, cioè 9
al primo, un terzo, cioè 6 al secondo, un
nono, cioè 2 al terzo figlio, e poi, ripreso
il suo cammello se ne andò ringraziato dai
tre figli, ognuno dei quali aveva ricevuto più di
quanto gli spettava. Spiegare l'enigma.
RISPOSTA: Infatti, 1/2 + 1/3 + 1/9 < 1, cioè quel
padre non distribuì tutta l'eredità.
19.
Le tre Grazie portando pomi, ognuna lo stesso numero,
incontrano le nove Muse, e con loro dividono i pomi,
sicché tutte hanno lo stesso numero di pomi.
Quanti erano i pomi?
RISPOSTA: 12 o un suo multiplo. Questo problema è estratto
dall'Antologia greca; questo libro, dei tempi dell'imperatore
Traiano, morto nell'anno 117, contiene in versi greci
vari problemi, alcuni antichissimi.
20.
Le nove Muse, portando ognuna lo stesso numero di
corone, incontrano le tre Grazie e loro distribuiscono
delle corone, e tutte ne hanno lo stesso numero.
Quante corone?
RISPOSTA: un multiplo di 9 e di 12, cioè di
36. Dall'Antologia greca.
21.
Una contadina porta delle uova al mercato. Sa che
contandole a 2 a 2 ne avanzava 1, contandole a 3
a 3 ne avanzava 1, a 4 a 4 ne avanzava 1, a 5 a 5
ne avanzava 1, a 6 a 6 ne avanzava 1 e contandole
a 7 a 7 aveva un numero esatto. Quante uova?
RISPOSTA: 301, ovvero 301 più un multiplo di
420. Così Leonardo Pisano, pag. 281.
22.
Una donna porta delle uova al mercato; ad un primo
compratore vende la metà delle uova più mezzo
uovo, ad un secondo vende la metà delle uova
rimaste più mezzo uovo, ad un terzo vende
la metà delle uova rimaste più mezzo
uovo; così ha venduto tutte le uova che possedeva.
Quante uova possedeva?
RISPOSTA: 7 uova. Se, in una scuola, questo problema,
od altri, è troppo difficile, si inverte: "Una
donna portò 7 galline al mercato; ad un primo
compratore vendette la metà delle galline più mezza
gallina. Quante ne sono rimaste? ecc.".
23.
Una comitiva di 7 viaggiatori si presenta ad un albergo,
e domanda un letto per ogni viaggiatore. L'oste risponde:
ho solo sei letti, distinti colle lettere A, B, C,
D, E, F. Ma guarderò di aggiustarvi. Perciò destinò due
viaggiatori a dormire nel letto A, poi uno nel letto
B, e fa tre; poi uno in C, e conta quattro; poi uno
in D, e conta cinque; poi uno in E, e conta sei;
poi prende uno di quelli che erano in A e lo conduce
in F, e conta sette. Così i 7 viaggiatori
dormono in 6 letti, uno per letto.
Come ha fatto? Chi fa il gioco, rappresenta i letti
con sei carte, e procede rapido, onde l'uditore non
si accorga che un viaggiatore è stato contato
due volte.
24.
In un bicchiere si trova del vino, e in un altro
dell'acqua. Si prende un cucchiaio di vino dal 1° e
si versa nel 2°, si mescola questo, poi si prende
un cucchiaio del liquido del 2° bicchiere e si
versa nel 1°. La quantità di vino che
si porta dal 1° nel 2°, è più grande
o più piccola di quella dell'acqua portata
nel 1°?
Molte persone rispondono che la prima quantità è più grande.
Invece sono uguali. Invero, essendovi dopo l'operazione,
la stessa quantità nei due bicchieri, è necessario
che tanto sia passato dal 1° nel 2°, quanto
dal 2° al 1°.
25.
Due persone hanno una botte con 8 litri di vino;
e due botti vuote capaci di 5 e 3 litri. Vogliono
dividere gli 8 litri in parti uguali.
Nelle 3 botti, capaci di litri 8 5 3
Sonvi all'inizio litri di vino 8 0 0
Verso il 1° nel 3°; ho litri 5 0 3
Verso il 3° nel 2°; ho litri 5 3 0
Verso il 1° nel 3°; ho litri 2 3 3
Verso il 3° nel 2°; ho litri 2 5 1
Verso il 2° nel 1°; ho litri 7 0 1
Verso il 3° nel 2°; ho litri 7 1 0
Verso il 1° nel 3°; ho litri 4 1 3
Verso il 3° nel 2°; ho litri 4 4 0
Che è la soluzione data da Tartaglia, libro
16, N. 132.
26. Problema
del lupo, della capra e del cavolo
(TARTAGLIA, libro 16, N. 141).
Un tale ha con sè un lupo, una capra e un cavolo;
e deve traversare un fiume, con una barca, in cui può portare
un sol .. oggetto per volta. Egli vuoI traversare col
cavolo, ma la capra gli dice: non lo fare che il lupo
mi mangia. Egli vuoI traversare col lupo, ma il cavolo
gli dice: non lo fare che la capra mi mangia. Come
farà?
Traghetta la capra, poi il cavolo, e riporta la capra,
traghetta il lupo, e infine la capra; e così ha
salvato capra e cavolo. "e da questo è nasciuto
un certo proverbio fra gli huomini, dicendo in qualche
proposito, egli ha salvato la capra e i verzi (cavoli)".
27.
Un negoziante aumenta del 20 per 100 i prezzi segnati
sulle sue merci; poi mediante un avviso, dice di
concedere ai suoi avventori lo sconto del 20 per
100 sui prezzi segnati. Quale sconto egli fece sui
prezzi primitivi?
RISPOSTA: Il 4 per 100.
28.
Pietro, che possiede 1024 lire, si mette a giocare
alla pari cioè, se vince, guadagna una somma
pari alla puntata. Egli gioca 10 partite, e punta
sempre la metà del denaro che possiede. In
fine egli ha guadagnato 5 partite e perdute 5. Avrà egli
guadagnato?
RISPOSTA: Egli ha perduto 781 lire, oltre il tempo.
Operazioni
curiose
29.
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
Ibn Albanna, matematico arabo, vivente al Marocco verso
il 1200, pubblicò queste moltiplicazioni curiose,
e le seguenti.
30.
12345679 x 9 = 111 111 111
12345679 x 8 = 98765432.
31.
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1 111
1234 x 9 + 5 = 11 111
12345 x 9 + 6 = 111 111
123456 x 9 + 7 = 1 111 111
1234567 x 9 + 8 = 11 111 111
12345678 x 9 + 9 = 111 111 111
32.
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 +7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
33.
9 x 9 + 7 = 88
9 x 98 + 6 = 888
9 x 987 + 5 = 8888
9 x 9876 + 4 = 88888
9 x 98765 + 3 = 888888
9 x 987654 + 2 = 8888888
9 x 9876543 + 1 = 88888888
9 x 98765432 + 0 = 888888888.
34.
Disposizione particolare delle cifre 1, 2,....... 9:
2 x 78 = 156 = 39 x 4
35.
9 = 97524/10836
= 95823/10647
= 95742/10638
= 75249/08361
= 58239/06471
= 57429/06381.
In ognuna di queste espressioni di 9 figurano tutte
le cifre, ognuna una volta sola.
36.
Dividere il numero 100 in quattro parti, in modo
che la prima più 4, eguagli la seconda meno
4, e la terza moltiplicata per 4, e la quarta divisa
per 4.
100 = 12 + 20 + 4 + 64
12 + 4 = 16
20 - 4 = 16
4 x 4 = 16
64 / 4 = 16.
37.
Moltiplica un numero di più cifre per 1000;
addiziona il prodotto al numero dato; dividi la somma
per 7, poi per Il, poi per 13. Ritroverai il numero
dato.
38.
Theone da Smirne, che visse verso il 100, Boezio
morto nel 525, ed altri, chiamano numeri sferici,
i numeri i cui quadrati terminano colle stesse cifre.
Esempi:
52 = 25
62 = 36
252 = 625
762 = 5776
3762 = 141376
6252 = 390625
93762 = 87909376
906252 = 8212890625
39. Numeri
ciclici
Il numero 142857 moltiplicato per 2, 3, 4, 5, 6, dà i
prodotti 285114, 428571, 571428, 714285, 857142 contenenti
le stesse cifre, permutate in ordine circolare. Esso
moltiplicato 7 vale 999999.
40.
Il numero di 18 cifre: 526 315 789 473 684 210 moltiplicato
per 2, 3, ...18, dà sempre le stesse cifre
permutate in circolo. Esso vale (1018-1)/19.
I numeri ciclici sono anche detti "numeri della
Fenice", perchè si riproducono per moltiplicazione,
come la favolosa araba fenice. Queste cifre sono il
periodo di 1/19 sviluppato in frazione decimale.
In generale, i numeri cicli ci si ottengono da (10n-1)
/n. attribuendo ad n i valori, 7, 17, 19, 23, 29, 47,
59, 61,97, 109, 130, 149... Qui si può vedere
un teorema di Fermat, o lo sviluppo d'una frazione
ordinaria in frazione decimale periodica.
41.
Un topo generò 7 topi; ognuno di questi altri
7 i topi; ognuno di questi altri 7; e ognuno di questi
altri 7. Quanti topi in tutto?
RISPOSTA: 1 + 7 + 72 + 73 + 74 = 2801.
Questo problema è liberamente tradotto dal papiro
egiziano di AHMES, di 4000 anni fa.
42. "Septem
vetulae vadunt Romam; quarum quaelibet, habet burdones
7; et in quolibet burdone sunt sacculi 7; et in
quolibet sacculo panes 7; et quilibet panis habet
cultellos 7; et quilibet cultellus habet vaginas
7. Quaeritur somma omnium praedictorum" (LEONARDO,
pag. 311). Sommando le 7 vecchierelle colle 49
vesti, colle 343 saccoccie, coi 2401 pani, coi
16 807 coltelli e colle 117 649 buste, si hanno
137 256 oggetti. Questo problema, in sostanza identico
al precedente, ed ancora popolare al giorno d'oggi,
conduce alle progressioni geometriche. La regola
per la loro somma si trova in Euclide, libro IX,
prop. 35.
Indovinelli aritmetici.
43.
Il Maestro, e i piccoli allievi Pietro e Paolo.
MAESTRO: Pietro, pensa un numero.
PIETRO: Pensato.
MAESTRO: Aggiungi uno.
PIETRO: Aggiunto.
MAESTRO: Quanto hai trovato?
PIETRO: Sei.
MAESTRO: Tu Paolo, indovina il numero pensato da Pietro.
PAOLO: 6 - 1 = 5, tale è il numero pensato.
MAESTRO: Bravo Paolo, hai fatto un primo passo in Algebra.
44.
Gli stessi...
MAESTRO: Paolo, pensa un numero, raddoppialo, aggiungi
3, dicci il risultato, e tu Pietro indovina il numero
pensato.
PAOLO: 15.
PIETRO: (15 -3) / 2 = 6.
MAESTRO: Bravo Pietro, hai fatto un lungo passo nell'Algebra.
45.
Pensa un numero, raddoppialo, aggiungi 8, dividi
per 2, sottrai il numero pensato; avrai 4.
46.
Pensa un numero, moltiplica per 2, aggiungi 5, moltiplica
per 5, aggiungi 10, e moltiplica per 10, e dimmi
il risultato. Se da questo sottraggo 350, e divido
per 100, ho il numero pensato. Se esso è n:
(( n X 2 + 5) x 5 +10) X 10 - 350) / 100 = n. Così LEONARDO,
nel capitolo "de divinationibus".
47.
Scrivi un numero di tre cifre, decrescenti di 1 per
volta; capovolgi; fa la differenza fra i due numeri.
Avrai 198.
ESEMPIO: 987 - 789 = 198.
48.
Scrivi un numero di tre cifre decrescenti, inverti
l'ordine delle cifre, fa la differenza dei due numeri,
e a questa differenza aggiungi la medesima colle
cifre invertite. Troverai 1089.
ESEMPIO: 763 - 367 = 396; 396 + 693 = 1089.
49.
Scrivi un numero di tre cifre, inverti l'ordine i
delle cifre, e fa la differenza dei due numeri, maggiore
meno minore. Dimmi l'ultima cifra della differenza,
e ti dirò la differenza.
la cifra media è 9; la prima cifra = 9 - ultima.
Se però l'ultima cifra è 0, la differenza
= 0.
50.
Scrivi un numero di più cifre, moltiplica
per10, sottrai il primo numero, cancella nella differenza
una cifra non nulla, e dimmi la somma delle rimanenti.
La cifra cancellata più la somma delle cifre
rimaste deve essere un multiplo di 9, il che permette
di determinarla. Se p. es. la somma è 15, la
cifra cancellata è 3, perchè 15
+ 3 = 18. La differenza considerata è un
multiplo di 9.
51.
Si dice ad una persona di prendere tre carte, aventi
i numeri o punti da 1 a 10; poi di moltiplicare il
numero della prima carta per 2, aggiungere 1, moltiplicare
il risultato per 5, aggiungere il numero della seconda
carta, moltiplicare il risultato per 2, aggiungere
1, moltiplicare il risultato per 5, ed aggiungere
la terza carta. Si domanda il risultato finale di
tutte queste operazioni.
Se da questo risultato si sottrae 166, si avrà un
numero di tre cifre, le quali aumentate di 1, daranno
i numeri delle tre carte. Se per esempio il risultato
finale meno 166 vale 237, le carte sono 3, 4, 8.
Questo problema è una complicazione dell'altro
troppo semplice: pensa tre cifre; addiziona la prima
moltiplicata per 100 colla seconda moltiplicata per
10 e colla terza. Se il risultato è 348, avrai
pensato 3, 4, 8.
52. "Quidam
ivit negotiando Lucam, deinde Florentiam, et reversus
est Pisas; et fecit in unaquaque civitate duplex,
et in unaquaque expendidit denarios 12; et in fine
nil remansit ei. Quaeritur quot in prjncjpio habuit".
(LEONARDO, pag. 329).
Questo negoziante pisano, che commerciò in Lucca,
poi a Firenze, e in fine nella sua città, ed
ovunque raddoppiò i denarj che aveva ivi riportati,
e vi spese 12 denari, e cosi si trovò con zero,
aveva in principio denari 10 e mezzo.
53.
Un divoto pregò Giove affinchè gli
raddoppiasse i denari che aveva in tasca, e gli avrebbe
in compenso date 8 lire. Così fu fatto. Allora
pregò Venere dello stesso miracolo e pagò 8
lire; e infine pregò Mercurio che gli raddoppiasse
i denari, e gli pagò le 8 lire; e cosi si
trovò possessore di nulla. Quanti denari aveva
in principio?
L. 7. E' lo stesso problema precedente. Leonardo risolve
questo problema in due modi, colla regola diretta "regula
recta"; e colla inversa "regula versa".
Colla regola diretta: Chiamiamo cosa (res) il capitale
che egli aveva in principio; lo duplicò ed ebbe
2 cose, pagò 8 lire e gli rimase 2 cose -8 lire.
Lo duplicò la seconda volta, ed ebbe 4 cose
-16 lire. Pagò lire 8, e restò con 4
cose -24 lire. Lo duplicò la terza volta ed
ebbe 8 cose -48 lire. Pagò lire 8, e gli rimase
8 cose -56 lire = O, onde 8 cose = 56 lire, e cosa
= 7 lire.
E questa la soluzione oggi usata in Algebra, salvo
che invece di cosa si scrive x.
Colla regola inversa: Quella persona che pagò la
terza volta 8 lire e nulla gli rimase, prima di pagare
aveva 8 lire. E prima che si raddoppiassero per la
terza volta aveva 4 lire, e prima di pagare la seconda
volta aveva 4 + 8 = 12 lire, e prima del secondo raddoppiamento
aveva 6 lire, e prima di pagare la prima volta aveva
6 + 8 = 14 lire, e prima del primo raddoppiamento aveva
il capitale iniziale di 7 lire.
54.
In un cortile sonvi galline e conigli, in tutto 40
teste e 100 gambe. Quante galline e quanti conigli?
Leonardo risolve problemi simili colla regola araba
della doppia falsa posizione: "Elchataim quidem
arabice, latine duarum falsarum positionum regula interpretatur,
per quam fere omnium quaestionum solutio invenitur".
Poniamo 0 conigli; le galline sono 40, le gambe 80,
mancano 20 per arrivare a 100.
Aumento di 1 il numero dei conigli: il numero delle
galline diminuisce di 1 , e le gambe aumentano di 4
- 2 = 2.
Divido 20 per 2, ottengo 10; dunque 10 sono i conigli,
e 30 le galline.
TARTAGLIA, libro 17, scrive il nome arabo sotto la
forma Helcataym. Questa regola semplice è ora
poco usata, e sostituita col sistema di due equazioni
di primo grado.
55.
Antonio dice a sua sorella Maria; io ho tanti fratelli
quante sorelle. Maria risponde: io ho due volte più fratelli
che sorelle. Quanti figli e quante figlie in quella
famiglia?
RISPOSTA: 4 maschi e 3 femmine.
56. Gioco
a 2
Di due persone, una dice un numero da 1 a 10, l'altra
aggiunge un numero sempre da 1 a 10, la prima aggiunge
un numero fra gli stessi limiti, e così via.
Chi prima arriva a dire 100, vince. Come si fa a vincere?
Chi primo dice 89, potrà al colpo successivo
dire 100; e per essere certi di dire 89, basta dire
78, 67, 56, 45, 34, 23, 12, 1.
57.
Sonvi 3 persone, e 3 monete, una d'oro, l'altra d'argento,
e la terza di rame. Si danno alle tre persone rispettivamente
1, 2, 3 granelli, e sul tavolo se ne lasciano 18.
Chi fa il gioco, va in disparte, e invita le tre
persone a prendere una moneta per uno. Poi si prega
colui che ha la moneta di oro, a prendere tanti granelli
quanti ne ha in mano; chi ha la moneta d'argento
ne prenda il doppio di quelli che aveva; chi ha la
moneta di rame, prenda il quadruplo dei granelli
che gli furono dati.
Allora si contano i granelli rimanenti dei 18. Essi
possono essere 1, 2, 3, 5, 6, 7, corrispondenti alle
6 permutazioni dei tre oggetti.
Questo problema si trova in TARTAGLIA, libro 16, N.
196. L'autore dà una regola mnemonica per ricordare
la permutazione.
Altra ne dà BACHET, ed un'altra OUGHTRED, Mathematical
recreations, London, 1653.
LEONARDO, pag 307, espone problemi simili, e ne dà la
soluzione aritmetica, che si può tradurre come
segue:
Chiamo metallo 0, metallo 1, metallo 2, rispettivamente
oro, argento e rame. Divido (8 - (meno) numero dei
granelli rimasti) per 3; il quoto è il metallo
scelto dalla terza persona, e il resto è quello
della seconda.
Le monete si possono sostituire con un pomo, un fico,
una noce.
58. I
bianchi e i neri
Avendosi 15 pedine (o carte) bianche, e 15 nere, disporle
in circolo, in modo tale che contandole da un punto
determinato, e levando ogni nona pedina, si tolgano
tutte le pedine nere.
TARTAGLIA, libro 16, N. 203, dà la soluzione
indicata colla frase:
Populeam virgam mater regina tenebat.
Le vocali a, e, i, o, u valgono 1, 2, 3, 4, 5; le consonanti
non contano. Quella frase indica la successione dei
numeri 4, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 1. Disponendo
4 bianche, 5 nere, 2 bianche, ecc., si avrà la
soluzione richiesta.
BACHET, Problèmes plaisants et délectables
qui se font par les nombres, pubblicato a Lione nel
1613, alla frase latina, sostituisce la francese:
Mort tu ne falliras pas en me livrant le trépas.
Volendo, col levare ogni terza pedina, togliere tutte
le nere, Tartaglia dà la frase:
Egl'è passata Venere amata, che fece la
barchetta rea, cioè bisogna porre 2 bianche,
2 nere, 1 bianca, 1 nera, ecc. ,
Questo passatempo può essere utile per far contare
ai bambini, ed insegna un metodo mnemonico per ricordare
cifre.
59.
Un padre distribuisce fra i suoi figli i denari di
una borsa. Al primo figlio dà 1 lira e il
settimo di ciò che rimane. Al secondo dà 2
lire e il settimo di ciò che rimane. Al terzo
dà 3 lire e il settimo di ciò che rimane.
E così di seguito; e distribuì tutti
i denari della borsa, e risultò che , ognuno
dei figli ricevette la stessa somma. Quanti erano
i figli e quante le lire nella borsa ?
RISPOSTA. I figli erano 6, e le lire 36. Questo problema
si trova in LEONARDO, pag. 279, ed in molti altri autori.
Se il problema precedente è troppo difficile
in una scuola, si inverte: un padre distribuisce fra
i suoi figli 36 lire. Al primo figlio dà 1lira
+ 1/7 di ciò che rimane. Quanto diede al primo
figlio? Al secondo diede 2 lire + 1/7 di ciò che
rimase. Quanto diede al secondo figlio? ecc.
In generale, se il padre dà al primo figlio
la somma a più 1/n di ciò che rimane,
e al secondo figlio 2a più 1/n' del rimanente,
ecc., e così distribuisce tutti i denari in
parti eguali, i figli sono n - 1, e la somma distribuita è (n
- 1)2a.
EULERO risolse questo problema, ed altri più difficili.
60.
Quanti chilogrammi pesa un oggetto pesante 1 kg.
più della metà del proprio peso?
RISPOSTA: 2 kg.
61.
Qual è la metà dei due terzi, dei tre
quarti, dei quattro quinti di un soldo?
RISPOSTA: Era un centesimo.
62.
Una persona fa il giro del mondo, sempre in piedi.
Di quanto il cammino della testa supera il cammino
dei piedi?
RISPOSTA: Della circonferenza di raggio l'altezza della
persona.
63.
Pensa un numero, moltiplica per 3, aggiungi uno dei
numeri 1, 2, 3, ad arbitrio; moltiplica per 3, aggiungi
il numero pensato. Cosa hai trovato?
Se r è il risultato, r quot 10 è il numero
pensato.
Numerazioni
Nella
numerazione romana si usano i segni:
I=1, V=5, X=10, L=50, C= 100, D=500, M=l000.
Questi segni avevano dapprima una forma speciale, quale
si trova nella colonna Duilio, dell'anno 251 a.C.,
ancora esistente in Roma, ed in altre iscrizioni. Poi
si confusero colle lettere dell'alfabeto. Ogni altro
numero si esprime per addizione coi precedenti, raramente
per sottrazione.
ESEMPIO: Boezio, ucciso da Teodorico nell'anno 525,
nel suo libro "De institutione arithmetica",
cosi esprime le potenze di 2: I. II. IIII. VIII. XVI.
XXXII. LXIIII. CXXVIII.
Numeri quadrati: I. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XL
VIIII. LXIIII. LXXXI. C.
Numeri cubi: I. VIII. XXVII. LXIIII. CXXV. CCXVI. CCCXLIII.
Il numero 4 è sempre indicato per IIII in tutti
i monumenti romani e nei libri; la forma sottrattiva
IV comparisce dopo il 1600. La forma IX si trova raramente
nelle antiche iscrizioni. Nei monumenti, i segni rappresentanti
numeri erano spesso sopralineati, per distinguerli
dalle lettere dell'alfabeto. Ma nei manoscritti si
trova sopralineato il numero delle migliaia. Così nelle
opere matematiche di Gerberto, che diventò papa,
sotto il nome di Silvestro II, dal 972 al 1003, trovasi:
"jugerum pedes vero XXVIII DCCC"
cioè "il jugero, rettangolo di 240 piedi
per 120 piedi, vale 28 800 piedi quadrati".
L. VIRIGLIO, I segni numerali romani, "R. Accademia
delle Scienze di Torino" anno 1916, riproduce
numerose iscrizioni romane, contenenti numeri.
Abaco
Gli antichi per calcolare, si servivano di sassolini,
detti in latino "calculi ", onde la nostra
parola calcolo, ancorchè le pietruzze non
si usino più. nel calcolo algebrico e infinitesimale.
Ma si usano ancora utilmente, sostituite con ciliegie
o noci, nelle prime scuole.
Pitagora, che visse dall'anno 570 a. C. al 470 circa,
insegnò, per calcolare su numeri grandi, a dividere
una tavola in colonne, intestate uno, dieci, cento,
mille, ecc., e in ogni colonna si scrivevano, o si
indicavano con calcoli, le unità dei varii ordini.
Nella "Ars Geometrica", libro che era attribuito
a Boezio, ma che pare del mille, sta scritto: "Pythagorici
vero, ut in omnibus rebus erant ingeniosissimi et subtilissimi,
descripserunt sibi quandam formulam quam ob honorem
sui praeceptoris mensam Pythagoream nominabant; a posterioribus
appellatur abacus ".
Se le pallottoline sono infilzate in aste, risulta
l' ingombrante pallottoliere.
Molto più comoda è la disposizione per
cui ogni asta è divisa in due parti: le pallottole
di una parte indicano uno, e sono in numero di 4; nell'altra
parte si trova una pallottola mobile, col valore di
5 (v. figura).
In
figura è indicato il numero 64735012.
Questo abaco si è trovato negli scavi di Pompei. È diffusissimo
fino dai tempi più antichi presso i Cinesi,
col nome di Suan-pan, o tavola per calcolare; essi
vi eseguiscono tuttora calcoli con grande rapidità e
meraviglia dei viaggiatori Europei.
Di questo abaco parla Lao Tze, contemporaneo di Confucio,
a. 500 a. C.
PERNY, Grammaire chinoise, Paris, 1873, vol.
1, pag. 168, l'attribuisce a Cheu Ly, anno 2637 a.
C.
Si può costruire con una cornice di cm. 10 x
12, del filo e delle perline. Per facilitare i riporti,
alcuni abachi contengono due palline col valore 5,
e 5 col valore 1.
Dalla Cina l'abaco passò in Giappone col nome
di Soroban, e in Russia, col nome di S'cioti = calcoli.
Il matematico francese J. V. Poncelet, che fu prigioniero
in Russia durante la guerra napoleonica del 1812-14,
vi imparò l'abaco, e lo importò nelle
scuole elementari francesi. Sarebbe desiderabile una
maggiore diffusione di questo semplice ed utile strumento
di calcolo.
Ai nostri tempi, all'abaco si sostituisce la carta
quadrettata, che facilita l'incolonnamento delle cifre
ed è utilissima in lunghi calcoli.
Abaco è parola latina, dal greco, e significa "tavola".
Il nome di "tavola pitagorica" passò poi
verso il 1600 a significare la tavola di moltiplicazione.
Segni di Aritmetica
In Aritmetica si usano segni, o simboli ideografici,
rappresentanti idee, e non parole; sono tali le
cifre 0, 1,... 9, i segni di operazioni +, -, ...,
di relazione =, ecc.
Le cifre 0, 1, 2,... 9 furono introdotte in Europa
verso il 1200; noi le imparammo dagli Arabi, e questi
dagli Indiani.
Leonardo accompagnò suo padre "publicus
scriba", cioè notaio della repubblica di
Pisa, in Bugia (Bougie), città dell'Algeria;
nei suoi viaggi studiò il "modum indorum",
e nel 1202 scrisse il suo "Liber Abaci",
che comincia colle parole:
"Novem figurae indorum hae sunt 987654321. Com his itaque novem figuris,
et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus".
La forma delle cifre arabiche è:
Gli arabi scrivono da destra
a sinistra.
La cifra 1 è una sbarra; 2 è una deformazione
di =; 3 di =.
La forma delle cifre si fissò dopo l'invenzione
della stampa. Lo zero era figurato con un punto dagli
Indiani, e lo è ancora dagli Arabi. Il nostro
modo di scrivere i numeri con cifre è la rappresentazione
sulla carta dell'abaco.
+ "più" e - "meno" comparirono
verso il 1500, sostituendo le antiche iniziali di plus e minus.
x "moltiplicato", è generalmente
sottinteso fra due lettere, e fra un numero e una lettera.
Questo segno con questo significato s'incontra in Oughtred
e in Harriot 1631, e usato da Wallis, Newton, ecc.
divenne universale.
a/b e (a fratto b) indicano la divisione;
questa notazione rimonta agli Indiani, e si trova in
Leonardo Pisano 1202. Le due forme sono egualmente
facili a scriversi, ma la prima è in tipografia
molto più comoda della seconda; ed è anche
più facile a leggersi.
am "a elevato m".
Questa notazione si trova in Cartesio 1637, e sostituì notazioni
antiche.
= "eguale", introdotto da
Recorde nel 1557, usato da Newton (1660-1727), si è diffuso
dappertutto, sostituendo l'iniziale della parola aequalis prima
usata.
> "maggiore" e < "minore",
si trovano in Harriot 1631, e sostituirono segni prima
usati.
Se a e b sono interi, a/b, "a
diviso b" è in generale un numero fratto.
Scriveremo "a quot b", ed "a resto b" per
indicare il quoto o quoziente intero della divisione
di a per b.
ESEMPIO:
50 quot 7 = 7
50 resto 7 = 1
Non c'è una notazione uniforme per indicare
questi risultati; la più comune è quot
(a, b) e resto (a, b). Anche il valore delle parole
quoto e quoziente non è uniforme nei libri.
Per indicare l'ordine delle operazioni aritmetiche,
si usarono varie notazioni; la più comune è quella
delle parentesi, che fu diffusa specialmente da Eulero.
Per ulteriori informazioni storiche, vedasi il mio
articolo: Sulla forma dei segni di Algebra, "Giornale
di Matematica finanziaria", diretto dal prof.
INSOLERA, Torino 1919.
Dovendosi fare più operazioni successive, p.
es. 1+2+3+4. si dice 1 più 2, eguale 3, più 3,
eguale 6, più 4, eguale 10. In alcuni libri
sta scritto:
1+ 2 = 3 + 3 = 6 + 4 = 10;
questa notazione è giudicata erronea dalla maggioranza.
Ma la verità, anche in matematica, è relativa
alle convenzioni che si fanno. Chi la giudica erronea,
intende che essa significhi 1 + 2 = (3 + 3);
mentre quelli che la usano, intendono che significhi:
((1 + 2 = 3) + 3 = 6 ) + 4 = 10.
Le parentesi iniziali, in ogni formula matematica,
sono inutili, come pure le chiuse finali. Quindi si
può abbreviare la scrittura così:
1 + 2 = 3) + 3 = 6) + 4 = 10.
Questa scrittura non si presta ad equivoci, e ha tutti
i vantaggi della brevità; ma ha l'inconveniente
della novità.
Chi non adotta questa convenzione, deve scrivere:
1 + 2 = 3; 3 + 3 = 6; 6 + 4 = 10.
Se il numero che si scrive due volte è complicato,
Eulero lo rappresenta con p, leggi "precedente":
1 + 2 = 3, p + 3 = 6, p + 4 = 10.
Nelle frazioni decimali, per separare la parte intera
dalla rimanente mantissa, da noi si suole usare la
virgola 2,3 = 2 + 3/10. Ma essendovi pericolo di confondere
questa virgola decimale colla virgola ortografica,
gli autori inglesi specialmente, ed anche altri, usano
il punto in alto "." così 3.14
= 3 + 14/100. In alcune tavole di logaritmi si trova
anche il punto in basso.
OPERAZIONI ARITMETICHE
§1. In aritmetica elementare si dà per ogni operazione una regola.
Ma sonvi altri modi per eseguire le stesse operazioni, che alcune volte sono
più opportuni di quelli che si studiano in aritmetica pratica. Questi
metodi sono esposti negli antichi libri. Il grande matematico Cauchy se ne occupò in
più memorie all'Accademia delle Scienze di Parigi, nel 1840. Altri sono
esposti dal calcolatore Houzeau nell' Accademia delle Scienze di Bruxelles, a.
1875. Sonvi anche libri speciali su questo soggetto. Vedasi: UGO CASSINA, Calcolo
numerico, Libreria Perotti, Torino, 1923.
Questo libro contiene preziose informazioni storiche
sui calcoli elementari, come pure sulle radici, logaritmi,
sviluppi in serie, ecc.
Addizione
§ 2. I calcolatori consigliano, dopo aver calcolato la somma delle cifre
di una colonna, di scrivere la cifra del riporto nella colonna di sinistra in
tal modo si può interrompere l'operazione, senza dover ricominciare da
capo; e si può verificare una colonna, indipendentemente dalle altre.
Ciò è specialmente utile, dovendosi sommare molti numeri.
Riporti 1200.
Riporti |
1200 |
Stella
di 1a grandezza |
20 |
Stella
di 2a grandezza |
51 |
Stella
di 3a grandezza |
200 |
Stella
di 4a grandezza |
595 |
Stella
di 5a grandezza |
1213 |
Stella
di 6a grandezza |
3640 |
Somma |
5719 |
ESEMPIO: Conoscendo il numero delle stelle delle varie
grandezze, dalla prima o più luminosa fino
alla sesta, che sono le più piccole, che
si possano vedere ad occhio nudo, per trovare il
numero delle stelle visibili ad occhio nudo, si
fa la somma. La somma delle unità vale 9,
che si scrive. La somma delle decine vale 21; scrivo
l nella somma, e scrivo 2 nei riporti, colonna
delle centinaia. La somma delle centinaia vale
17; scrivo 7 centinaia nella somma, e l migliaio
nei riporti.
Le stelle che si possono vedere ad occhio nudo, in
un dato momento, sono solo la metà delle precedenti,
circa 3000, quanti gli abitanti di un piccolo villaggio.
§ 3. Cauchy insegna una prova
dell'addizione. Si sommano le cifre degli addendi:
2 + 6 + 2 + 19 + 7 + 13, con quelle dei riporti 3 =
52. Si sommano le cifre del totale 22 con quelle dei
riporti moltiplicati per l0, cioè 30; e si ha
52 come prima.
§ 4. L'addizione si può fare
da sinistra e destra. Nell'esercizio precedente,
sommo prima le migliaia, poi le centinaia, poi le
decine, poi le unità; e poi addiziono le somme
parziali.
4000
1500
210
9
________
5719
|
§ 5. I contabili (così riferisce Houteau),
per calcolare una lunga somma, usano il metodo che
qui espongo col breve esempio precedente.
Sommate le 9 unità, si passa alle decine, e
si dice: 2 + 5 = 7; 7 + 9 = 16, pongo il * che vuol
dire 10 e dico 6; 6 + 1 = 7, 7 + 4 = 11, pongo * che
significa 10, e scrivo 1 nella somma. Conto gli * segnati,
e li riporto come centinaia. 2 di riporto + 2 = 4; 4
+ 5 = 9; 9 + 2= 11, scrivo *, e
dico 1; 1 + 6=7 che scrivo nella somma e riporto un
*.
2 0
5 1
2 0 0
5 9*5
1 2*1 3
3 6 4*0
_______
5 7 1 9
|
§ 6. Addizione col nastro (addition
au ruban di HOUZEAU)
Nelle banche si usa una riga fissa, lunga un decimetro,
su cui sono segnati i centimetri, ed un nastro lungo
circa un metro, su cui sono pure segnati i centimetri;
e si misurano successivamente sul nastro tanti centimetri
quante sono le unità delle cifre di una colonna,
e si legge la somma sul nastro. Invece della lunghezza
del centimetro, è più comodo il pollice,
che si può fare di 2 centimetri.
Sonvi anche macchine addizionatrici, alcune abbastanza
semplici, ma non elementari.
§ 7. Addizione e Sottrazione
contemporanee (o somma algebrica di numeri)
La somma di più numeri relativi dicesi anche "somma
algebrica".
Nell'uso comune avendosi da sommare dei numeri positivi
e negativi, quali "entrata e uscita", "attivo
e passivo ", "debito e credito", si
suoI tenere due registri, l'uno delle entrate, o dei
termini positivi, e l'altro delle uscite, o dei termini
negativi, sommarli rispettivamente, e poi farne la
differenza. Spesso si tiene un registro solo, ma le
entrate si scrivono m una colonna e le uscite in un'altra.
Ciò però non è necessario. vogliasi
per es. calcolare la somma qui. scritta in cui i termini
sono alternativamente positivi e negativi (e ognuno è la
parte intera del precedente divisa per 2).
Sommo per colonne dall'alto in basso. Sommo le cifre
delle unità. e dico:
0 - 0 = 0) + 0 = 0) -5 = - 5) +2 = - 3) - 1 = - 4)
+ 5 = 1) - 7 = - 6) + 3 = - 3) - 1 = - 4 = = 6 - 10;
scrivo 6 nella colonna delle unità, e riporto
-1. Sommo le decine e dico: -1 di riporto + 5 = 4)
- 2 = 2) + 6 = 8) - 3 = 5) + 1 = 6, che scrivo. Sommo
le centinaia: 10 - 5 = 5) + 2 = 7) - 1 = 6, che scrivo,
ed ho la somma 666.
1000
-500
+250
-125
+62
-31
+15
-7
+3
-1
_______
666
|
Moltiplicazione
§ 8. I prodotti di due cifre una volta si facevano imparare a mente, facendoli
ripetere più volte, con una cantilena, che già fu giudicata odiosa
da S. Agostino, anno 354 al 450: "unum et unum duo, duo et duo quatuor,
odiosa cantio mihi erat" (Confessiones I, 13). Egli attesta che in
quei tempi nelle scuole si faceva anche odiare il greco ed il sommo Omero.
LUCAS, Arithmétique amusante. Paris 1895, dice:
"Pour apprendre à notre écolier la multiplication, gardons-nous
bien de lui faire réciter, sur un ton dolent et monotone, deux fois deux
font quatre, deux fois trois font six,...; ce serait donner à ses facultés
arithmétiques un enterrement de première classe. L'enfant doit
construire la Table lui-meme".
Lo stesso dice LAISANT, lnitiation mathématique,
Paris 1915, pag. 6: "Attachez-vouz à intéresser, à amuser
l'enfant, ne lui faites rien apprendre par coeur".
Gli stessi principii sono insegnati da tutti i pedagogisti.
§ 9. Per costruire la tavola di
moltiplicazione, si scrivono sulla prima linea i
numeri
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Poi contando per 2, si ha la seconda linea:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Si verifica che questi numeri si ottengono anche addizionando
i numeri della prima linea con essi stessi; ossia si
riconosce la proprietà commutativa del X:
2 x 8=8 x 2
I multipli di 3 si ottengono contando per 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.
Oppure addizionando i numeri della linea 1con quelli
della 2.
Per moltiplicare per 4, si raddoppia due volte.
Per moltiplicare per 5, si osserva che:
2 x 5 =10. 4 x 5 = 20. 6 x 5 = 30. 8 x 5 = 40.
Poi 7 x 5 = (6 + 1) X 5 = 6 x 5 + 5 = 30 + 5 = 35.
9 x 5 = 8 x 5 + 5 = 45.
Siccome la tavola non si altera, scambiando le linee
colle colonne, rimangono i prodotti di 6, 7, 8, 9.
6 x 6 = 6 x 5 + 6 = 30 + 6 = 36.
7 x 6 = 7 x 3 x 2 = 21 x 2 = 42.
8 x 6 = 8 x 3 x 2 = 24 x 2 = 48
= 5 x 6 + 3 x 6 = 30 + 18 = 48
= 8 x 5 + 8 = 40 + 8 = 48.
9 x 6=9 x 3 x 2 = 27 x 2 = 54.
7 x 7 = 7 x 5 + 7 x 2 = 35 + 14 = 49.
8 x 7=2 x (4 x 7) = 2 x 28 =56
= 8 x (5 + 2) = 40 + 16 = 56.
8 x 8 = 8 x 5 + 8 x 3 = 40 + 24 = 64.
9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72.
I prodotti per 9 si ottengono facilmente colle regole:
9 x 9 =9 x (10 - 1) = 90 - 9 = 81.
8 x 9 = 8 x (10 - 1) = 80 - 8 = 72.
7 x 9 = 7 x (10 - 1) = 70 - 7 = 63.
6 x 9 = 6 x (10 - 1)= 60 - 6 = 54.
I quadrati si possono anche ottenere colla formula:
a2 = (a - 1) x (a + 1) + 1.
ESEMPIO: 52 = 4 x 6 + 1= 24 + 1= 25.
72 = 6 x 8 + 1= 48 + 1= 49.
In tal modo, un prodotto, che non ricordiamo, viene
collegato ad altri più facili.
§ 10. Per calcolare il prodotto
di due cifre fra 5 e 10, si può usare la moltiplicazione
digitale.
Per avere (5 + a) x (5 + b), ove a e b valgono
da 1 a 4 si dirizzino a dita della mano destra,
e b della sinistra, e ad (a + b) x 10 si aggiunga
il prodotto delle dita rimaste piegate nelle due mani.
Infatti.
(5 + a) x (5 + b) = (a + b) x 10 + (5 - a) x (5 - b).
Questo metodo era noto agli Arabi, e forse ai Greci
e Romani.
In altri tempi la stessa regola, col nome di moltiplicazione
per differenze, fu esposta così:
Per avere 9 x 8, scrivo accanto a questi due numeri
le loro differenze a 10, cioè 1 e 2.
Sommo i numeri della prima colonna e tolgo 10; ho 7;
moltiplico le differenze 1 x 2 =
2; il prodotto = 72.
§ 11. Moltiplicazione egiziana
Il papiro egizio del calcolatore Ahmes, che rimonta
ad oltre 4000 anni, contiene la seguente moltiplicazione
di 35 per 42:
Nella prima colonna si scrive il fattore 35, si pone
un segno + perchè è dispari; sottratto
1, si divide per 2, e si scrive sotto 17. Accanto a
questo si pone il segno + perchè è dispari,
e sottratto 1, si divide 16 per 2, e si ha 8, che si
scrive sotto. Accanto a questo che è pari, non
si pone alcun segno, e si divide per 2, si ha 4 che
si scrive sotto; poi sotto la sua metà 2, e
sotto la sua metà 1, accanto a cui si pone il
segno + perchè dispari. Nella seconda colonna,
sotto il 42, scrivo il doppio 84, poi, il suo doppio
168, poi il suo doppio 336, poi 672, e infine 1344.
Sommo i numeri della seconda colonna, che sono accompagnati
dal segno +, ed ho il prodotto cercato 1470.
Così la moltiplicazione è ridotta ad
una serie di duplicazioni.
35+
17+
8
4
2
1+ |
42
84
168
336
672
1344
______
1470 |
Questa regola,
ritrovata da molti autori più prossimi a noi, è ora
una curiosità. Si giustifica osservando che
nella colonna di sinistra si è decomposto
il 35 in una somma di potenze di 2:
35 = 1 + 2 + 32,
e nella colonna di destra i termini col segno + sono
precisamente:
1 x 42 = 42
2 x 42 = 84
32 x 42 = 1344
la cui somma è il prodotto cercato.
§ 12.
Regoli di Nepero. Su delle liste di carta o di legno
si scrivono le colonne della tavola di moltiplicazione.
Le caselle quadrate sono divise con una diagonale;
in una parte si scrive la cifra delle decine, nell'altra
quella delle unità. Così nella figura,
nella colonna 6 si leggono i multipli 12, 18, 24.
Poste vicine alcune di queste colonne,
per es. quelle intestate 6, 3, 7, si leggono i prodotti
di 637 per 2; da destra a sinistra: 4 unità,
1 + 6 = 7 decine, 2 centinaia, 1 migliaio, cioè 1274.
Prodotto per 3: 1 unità, 2 + 9 = 11 decine;
scrivo 1, e riporto 1, più 8 = 9 cento, 1 mille,
cioè 1911.
Con un po' di attenzione si leggono i prodotti da sinistra
a destra: 637 x 4 = 2548; per 5 = 3185; per 6 = 3822,
ecc.
Questi regoli, che chiunque si può fabbricare,
sono molto utili nei lunghi calcoli. Per moltiplicare
due numeri di più cifre, coi regoli si moltiplica
il moltiplicando per le successive cifre del moltiplicatore,
e si sommano i prodotti parziali.
Nepero, inventore dei logaritmi, suggerì questo
metodo in un libro "Rhabdologia" del 1617.
Sonvi pure regoli, in cui si legge il prodotto di un
numero di più cifre per una cifra, senza fare
le addizioni. Vedasi la mia Aritmetica, ed. Paravia,
a. 1902, pag. 20.
§ 13. Moltiplicazione fulminea
I
matematici Indiani, verso il 600, eseguivano il prodotto
di due numeri, anche senza passare per i nostri prodotti
parziali; e chiamarono questo procedimento "vajràbhyàsa",
da "vajra" = fulmine, e "abhyàsa"=
moltiplicazione.
Essa è spiegata da Leonardo e posteriori.
Prendo il primo esempio in Leonardo: 37 x 49. Moltiplico
unità per unità: 7 x 9 = 63. Scrivo 3
unità, e riporto 6 decine. Moltiplico unità per
decine: 7 x 4 = 28 (decine), cui aggiungo 6 di riporto,
34; poi decine per unità 3 x 9 = 27, più 34
= 61. Scrivo 1 decina e riporto 6 centinaia. Infine
decine per decine 3 x 4 =12, + 6 di riporto, = 18,
che scrivo, ed ho il prodotto 1813.
Si può procedere da sinistra a destra; se i
fattori hanno molte cifre, Fourier nel 1831, Cauchy
nel 1840, e altri, consigliano di scrivere il moltiplicatore
sopra una striscia di carta che, capovolta, si dispone
successivamente sotto il moltiplicando nel modo indicato
dalla figura. Allora si moltiplicano le cifre che stanno
sulla stessa verticale e se ne fa la somma. Poi si
sommano questi prodotti parziali nel modo indicato
dalla figura.
§ 14. I calcoli sono facilitati
da tavole numeriche. La più semplice è la
tavola di moltiplicazione di due cifre. Essa dal
1600 è comunemente nota col nome di "tavola
pitagorica", mentre che prima questo nome indicava
l'abaco.
Sonvi tavole dei prodotti di due numeri fino a 100,
e formano un libretto. I prodotti di due numeri di
tre cifre riempiono un volume. Non esistono tavole
più ampie, e non sarebbero pratiche.
I manuali degli ingegneri sogliono contenere nelle
prime pagine le tavole dei quadrati, dei cubi, delle
radici, ecc. dei numeri fino a 1000, e sono molto utili.
L'Unione Tipografico-Editrice di Torino, pubblicò tavole
siffatte in fascicolo separato, che sono molto comode
anche per le scuole.
§ 15. Il prodotto di due numeri
si può esprimere come differenza di due quadrati,
colla formula:
a x b = [(a + b)/2]2 -
[(a - b)/2]2,
che già trovasi in Euclide, libro II prop. 5.
Avendosi, ad esempio, la tavola dei quadrati dei numeri
da 1 a 1000, si potrà ricavare il prodotto di
due numeri di tre cifre, come risulta dagli esempi
che seguono.
ESEMPIO 1°. Calcolare a x b, ove a = 981 e b =
223 sono dispari,
a
= 981 |
|
|
b
= 223 |
|
|
a
+ b = 1204, |
(1204)/2
= 602, (602)2 = |
362404 |
a
- b = 758, |
(758)/2
= 379, (379)2 = |
143641 |
|
a
x b = |
218763 |
La
somma e differenza di a e b si fanno come d'ordinario,
come pure la loro divisione per 2 i quadrati si leggono
nella tavola.
ESEMPIO
2°. Se i due numeri sono pari, si può procedere
come prima, oppure si possono dividere per 2:
a
= 986, |
a/2
= 493 |
|
b
= 314, |
b/2
= 157 |
|
|
(a
+ b)/2 = 650, |
(605)2 =
422500 |
|
(a
- b)/2 = 336, |
(336)2 = 112896 |
|
|
a
x b = 309604 |
ESEMPIO
3°. Se i numeri sono l'uno pari e l'altro dispari,
come 9.87 x 3.14, calcolo come prima:
|
986
x 314 = 309604 |
Aggiungo: |
314 |
Trovo: |
987
x 314 = 309918 |
|
|
§ 16.
La tavola dei quadrati dei numeri da 1 a 1000 permette
di calcolare rapidamente anche il quadrato di un numero
di sei cifre. Se x e y sono numeri di tre cifre si ha:
(1'000 x + y)2 = 1'000'000x2 +
1'000[x2 + y2 - (x - y)2]
+ y2.
ESEMPIO:
Vogliasi 3141592.
x2 =
3142 = |
98
596 |
|
|
y2 =
1592 = |
25
281 |
|
|
(x
- y)2 = |
1552 = |
24
025 |
3142 x
106 = |
98
596 |
000 |
000 |
3142 x
103 = |
98 |
596 |
000 |
1592 x
103 = |
25 |
281 |
000 |
1592 = |
|
25 |
281 |
-1552 x
103 = |
-
24 |
025 |
000 |
3141592 = |
98
695 |
877 |
281 |
Quindi:
3141592 = 98695877281.
Il
numero che si eleva a quadrato è il valore
di pi (greco) con 5 decimali. Non bisogna credere
che le 10 cifre trovate siano quelle di pi2
pi2 = 9,869 604 4010...
Divisione
§ 17. Se il divisore ha più cifre,
conviene calcolarsi la tavola dei suoi prodotti per
2, 3, 4,.., 9; o meglio leggerli nei regoli di Nepero.
In ogni caso conviene scrivere i prodotti del divisore
per le cifre del quoto, prima di fare la sottrazione.
I calcolatori unanimi sconsigliano di fare la moltiplicazione
e la sottrazione contemporanee.
§ 18.
Se il dividendo è multiplo del divisore, si
può calcolare il quoto anche da destra a sinistra.
Se
il divisore termina con cifra pari o con 5 cioè è multiplo
di 2 o di 5, lo stesso avverrà del dividendo,
e possiamo semplificare per questo fattore comune;
allora il divisore terminerà con una cifra dispari
diversa da 5.
Sia
da dividere 309918 per 987. La cifra delle unità del
quoto sarà 4, perchè 7 x 4 = 28, termina
per 8.
Dal
dividendo sottraggo il divisore moltiplicato per 4;
poi determino la cifra delle decine e quella delle
centinaia, come qui accanto, e trovo per quoto 314,
ossia verifico la moltiplicazione del § 15
|
309918 |
4
x 987 = |
3948 |
Differenza
= |
305970 |
10
x 987 = |
9870 |
Differenza
= |
296100 |
300
x 987 = |
296100 |
Differenza
= |
0 |
|