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"Se gli allievi non capiscono, il torto è dell'insegnante che non sa spiegare"
Peano picture
Giuseppe 
Peano 
Lived from
1858 to 1932
Giochi di aritmetica
e problemi interessanti

(Mathematical Recreations
and interesting problems)

| Parte prima |

Giuseppe Peano, nato a Spinetta, in provincia di Cuneo, il 27 agosto 1858, è stato uno tra i più grandi matematici di fine dell'Ottocento. Si è occupato di Analisi di Logica, di Fondamenti: gli assiomi dell'Aritmetica, la definizione di area di una superficie, la precisazione del resto nella formula di Taylor, l'introduzione della struttura di spazio vettoriale, la ‘curva di Peano’, e il teorema di esistenza per le equazioni differenziali sono solo alcuni dei suoi più noti contributi.

Come scrive anche H. C. Kennedy nella sua bella biografia (Edizioni Bollati, 1983): "in molte occasioni Peano aveva raccomandato di rendere più interessante l'insegnamento dell'aritmetica nelle scuole introducendo problemi più divertenti e giochi". Così nel 1924, il matematico pubblicò un volumetto di 63 pagine dal titolo "Giochi di aritmetica e problemi interessanti" contenente un'ottantina di ricreazioni matematiche (molte delle quali datate - particolarmente interessante il capitolo dedicato al calendario). Un libro, tutt'oggi esaurito (l'ultima edizione è di Sansoni, 1983. La prima edizione, di Paravia, 1925). I giochi del libro sono in parte inventati dall'autore stesso, tuttavia sono molti quelli che Peano ha ripreso da collezioni di antichi problemi, risalenti addirittura all'Antica Grecia!


63 ricreazioni matematiche
dal celebre volumetto di Giuseppe Peano
(Torino, Paravia, 1925)
63 mathematical recreations (in original language) from the famous booklet of
Giuseppe Peano

1. Quadrato Magico
Nel quadrato qui sotto sono scritti i numeri 1, 2, 3, ...9. Si verifichi che la somma dei numeri scritti su d'una stessa orizzontale, o su d'una stessa verticale, o su una delle due diagonali, è sempre 15, e cioè 2 + 7 + 6 = 9 + 5 + 1 = 4 + 3 + 8 = 2 + 9 + 4 = 7 + 5 + 3 = 6 + 1 + 8 = 2 + 5 + 8 = 4 + 5 + 6 = 15.

2 7 6
9 5 1
4 3 8


Sono tutte le scomposizioni di 15 nella somma di tre numeri 1, 2, ...9. I numeri 1, 3, 7, 9 entrano in due somme, i numeri 2, 4, 6, 8 in tre, e il 5 entra in quattro somme. Gli antichi Magi di Persia, che erano anche medici, curavano le malattie applicando sulla parte inferma un quadrato magico, seguendo il principio di medicina, ed anche di didattica: primum non nocère, primo principio: non nuocere. Questi quadrati erano pure noti agli antichi Cinesi, agli Indiani e Arabi verso l'anno 800 ed in Europa verso il 1300. Servono nella scuola come esercizio di addizione.

2. I numeri da 1 a 16 sono disposti in questo quadrato, in modo che si ottiene sempre 34 sommando i numeri di una stessa orizzontale, o d'una stessa verticale, o d'una diagonale; o anche sommando in altri modi quattro numeri della tabella; per es. 1 + 14 + 7 + 12 = 34; 1 + 6 + 16 + 11 = 34, in 86 modi diversi.

1 14 4 15
12 7 9 6
13 2 16 3
8 11 5 10

3. Dispongo i numeri da 1 a 6 sui vertici e lati di un triangolo, come nella figura La somma dei numeri che stanno su d'un medesimo lato, vale 11; cioè
2 + 3 + 6 = 2 + 5 + 4 = 6 + 1 + 4 = 11. Questo triangolo, come il seguente, dicesi magico.

2
3    5
6   1   9

4. La somma dei numeri scritti su di uno stesso lato di questo triangolo vale 20. La somma del numero scritto in un vertice coi quattro numeri vicini vale 25. La somma dei due numeri medi di un lato, meno il numero del vertice opposto vale 5. La somma dei quadrati dei numeri d'uno stesso lato vale 126.

8
7    1
3        6
2   9   4   5

5. Tavole misteriose
Pensa un numero da 1 a 15, e dimmi in quali delle seguenti tavole esso si trova:

1 3 5 7 9 11 13 15
               
2 3 6 7 10 11 14 15
               
4 5 6 7 12 13 14 15
               
8 9 10 11 12 13 14 15

Il numero pensato è la somma dei primi numeri delle tavole in cui si trova. Le tavole si costruiscono in questo modo: Si scrive 1 in capo alla prima, e 2 in capo alla seconda; poi 3 = 2 + 1 si scrive nelle tavolette comincianti con 2 ed 1;poi 4 si scrive a capo della terza tavola; 5 = 4 + 1 si scrive nelle tavole comincianti con 4 ed 1; 6 = 4 + 2 si scrive nelle tavole con 4 e 2; 7 = 4 + 2 + 1 nelle tavole con 4, 2, 1; poi 8 a capo di una nuova tavola; e così via.


Problemi capziosi
Così si chiamano alcuni problemi, in cui la risposta vera non è quella che prima si presenta alla mente. Sono dilettevoli, ed acuiscono la mente. Molti di questi problemi sono estratti da una raccolta della prof.a P. QUARRA, in Bollettino di Matematica, del prof. Conti, a. 1919.

6. Si ha una fune lunga metri 7 e se ne taglia ogni giorno un metro. Dopo quanti giorni la fune sarà tagliata?
RISPOSTA: Dopo 6 giorni (e non 7).

7. Si hanno 14 soldati in fila. La distanza fra un soldato e l'altro è di metri 3. Quale è la distanza dal primo all'ultimo soldato?
RISPOSTA: m. 3 x 13. Il problema è simile al precedente.

8. Importanza dello zero
Un tale scrive ad un venditore di animali: "mandatemi 1 o 2 gatti". Dopo qualche giorno si vede arrivare una grossa gabbia, piena di gatti, accompagnata da una lettera del venditore che diceva: "per ora vi mando 58 gatti; la settimana prossima manderò gli altri 44". Donde è nato l'equivoco?

9. Una lumaca si arrampica lungo un muro alto 5 metri. Ogni giorno sale tre metri e ogni notte discende 2 metri. Dopo quanti giorni la lumaca avrà raggiunto la cima del muro?
RISPOSTA: Dopo 3 giorni (e non dopo cinque).

10. In uno scaffale erano disposti per ordine i tre volumi di Dante, ognuno di 100 fogli. Un tarlo cominciò a rodere il primo foglio del primo volume e procedendo diritto, finì col rodere l'ultimo foglio dell'ultimo volume. Quanti fogli egli rose?
RISPOSTA: 102, perché i volumi sono ordinati da sinistra a destra, e i fogli dei volumi risultano ordinati da destra a sinistra; il primo foglio del primo volume è adiacente al secondo volume, come pure l'ultimo foglio del terzo volume.

11. Ogni minuto dal centro di una città parte una vettura che va alla stazione in 7 minuti e poi ritorna. Una vettura che va dal centro alla stazione quante vetture incontrerà?
RISPOSTA: 13 ( e non 7 né 14); poiché 14 sono le vetture che fanno servizio, e una di esse incontra le altre 13.

12. Si stima che la superficie del capo umano portante capelli è di 775 cm2 e che ogni cm2 contiene al massimo 165 capelli. Dimostrare che in una città di 150 000 abitanti vi sono due persone che hanno lo stesso numero di capelli.
RISPOSTA: Il massimo numero di capelli che può avere una persona é 775 x 165 = 123 875 < 150 000.

13. Due fratelli avevano insieme 40 soldi; se li divisero; il primo con 20 soldi compera delle uova ad 1 soldo l'uno e le vende a 2 soldi; il secondo compra delle uova a 2 soldi l'uno e li rivende a 1 soldo; poi rimettono insieme i loro soldi. Hanno guadagnato?
RISPOSTA: Guadagnarono 10 soldi. Questo problema, con altri seguenti, trovasi nel General Trattato di numeri et misure, di TARTAGLIA, illustre matematico, nato a Brescia nel 1506, morto a Venezia nel 1557.

14. Due piroscafi A e B sono partiti insieme per un viaggio di 6000 miglia all'andata e altrettanti al ritorno. Il piroscafo A mantiene una velocità di 8 miglia all'ora nell'andata e 12 miglia all'ora nel ritorno; il piroscafo b mantiene una velocità costante di 10 miglia all'ora. Arrivano essi insieme al luogo di partenza?
RISPOSTA: B precede A di 50 ore.

15. Una fruttivendola vende 30 pere a 3 per un soldo e poi 30 pere a 2 al soldo. Un'altra vende 60 pere a 5 per 2 soldi. Chi ha ritirato di più?
RISPOSTA:Ha ritirato di più la prima, la quale ritirò 25 soldi, mentre la seconda ne ritirò 24.

16. Di due commessi, l'uno riceve £ 1000 alla fine di ogni mese con l'aumento di £ 20 dopo ogni mese di servizio. Un altro riceve £ 500 alla quindicina con l'aumento di £ 5 ogni quindicina. Chi guadagna di più?
RISPOSTA: Il secondo guadagna 5 lire al mese di più del primo.

17. Due viaggiatori, uno dei quali ha 5 pani e l'altro 7 pani, ne incontrano un terzo affamato, che li invita a dividere seco lui la loro provvista. I tre viaggiatori mangiano insieme ed il terzo sopraggiunto, accomiatandosi dalla compagnia, lascia come retribuzione di quanto è stato a lui ceduto, 12 monete. Come dovranno essere divise le monete fra i due compagni?
RISPOSTA: Le monete si dovranno ripartire in parti proporzionali ai numeri 1 e 3. Questo problema, con altri simili, si trova nel "Liber Abaci" di LEONARDO PISANO, filio Bonacii, anno 1202, pag. 283.

18. Un Arabo morendo lasciò ai suoi tre figli 17 cammelli in eredità e ordinò che la metà di essi fosse data al primo figlio, la terza parte al secondo, e la nona al terzo figlio. I tre figli si rivolsero per la divisione al cadì, il quale enne con il proprio cammello, che unì agli altri. Diede la metà dei 18 cammelli, cioè 9 al primo, un terzo, cioè 6 al secondo, un nono, cioè 2 al terzo figlio, e poi, ripreso il suo cammello se ne andò ringraziato dai tre figli, ognuno dei quali aveva ricevuto più di quanto gli spettava. Spiegare l'enigma.
RISPOSTA: Infatti, 1/2 + 1/3 + 1/9 < 1, cioè quel padre non distribuì tutta l'eredità.

19. Le tre Grazie portando pomi, ognuna lo stesso numero, incontrano le nove Muse, e con loro dividono i pomi, sicché tutte hanno lo stesso numero di pomi. Quanti erano i pomi?
RISPOSTA: 12 o un suo multiplo. Questo problema è estratto dall'Antologia greca; questo libro, dei tempi dell'imperatore Traiano, morto nell'anno 117, contiene in versi greci vari problemi, alcuni antichissimi.

20. Le nove Muse, portando ognuna lo stesso numero di corone, incontrano le tre Grazie e loro distribuiscono delle corone, e tutte ne hanno lo stesso numero. Quante corone?
RISPOSTA: un multiplo di 9 e di 12, cioè di 36. Dall'Antologia greca.

21. Una contadina porta delle uova al mercato. Sa che contandole a 2 a 2 ne avanzava 1, contandole a 3 a 3 ne avanzava 1, a 4 a 4 ne avanzava 1, a 5 a 5 ne avanzava 1, a 6 a 6 ne avanzava 1 e contandole a 7 a 7 aveva un numero esatto. Quante uova?
RISPOSTA: 301, ovvero 301 più un multiplo di 420. Così Leonardo Pisano, pag. 281.

22. Una donna porta delle uova al mercato; ad un primo compratore vende la metà delle uova più mezzo uovo, ad un secondo vende la metà delle uova rimaste più mezzo uovo, ad un terzo vende la metà delle uova rimaste più mezzo uovo; così ha venduto tutte le uova che possedeva. Quante uova possedeva?
RISPOSTA: 7 uova. Se, in una scuola, questo problema, od altri, è troppo difficile, si inverte: "Una donna portò 7 galline al mercato; ad un primo compratore vendette la metà delle galline più mezza gallina. Quante ne sono rimaste? ecc.".

23. Una comitiva di 7 viaggiatori si presenta ad un albergo, e domanda un letto per ogni viaggiatore. L'oste risponde: ho solo sei letti, distinti colle lettere A, B, C, D, E, F. Ma guarderò di aggiustarvi. Perciò destinò due viaggiatori a dormire nel letto A, poi uno nel letto B, e fa tre; poi uno in C, e conta quattro; poi uno in D, e conta cinque; poi uno in E, e conta sei; poi prende uno di quelli che erano in A e lo conduce in F, e conta sette. Così i 7 viaggiatori dormono in 6 letti, uno per letto.
Come ha fatto? Chi fa il gioco, rappresenta i letti con sei carte, e procede rapido, onde l'uditore non si accorga che un viaggiatore è stato contato due volte.

24. In un bicchiere si trova del vino, e in un altro dell'acqua. Si prende un cucchiaio di vino dal 1° e si versa nel 2°, si mescola questo, poi si prende un cucchiaio del liquido del 2° bicchiere e si versa nel 1°. La quantità di vino che si porta dal 1° nel 2°, è più grande o più piccola di quella dell'acqua portata nel 1°?
Molte persone rispondono che la prima quantità è più grande. Invece sono uguali. Invero, essendovi dopo l'operazione, la stessa quantità nei due bicchieri, è necessario che tanto sia passato dal 1° nel 2°, quanto dal 2° al 1°.

25. Due persone hanno una botte con 8 litri di vino; e due botti vuote capaci di 5 e 3 litri. Vogliono dividere gli 8 litri in parti uguali.
Nelle 3 botti, capaci di litri 8 5 3
Sonvi all'inizio litri di vino 8 0 0
Verso il 1° nel 3°; ho litri 5 0 3
Verso il 3° nel 2°; ho litri 5 3 0
Verso il 1° nel 3°; ho litri 2 3 3
Verso il 3° nel 2°; ho litri 2 5 1
Verso il 2° nel 1°; ho litri 7 0 1
Verso il 3° nel 2°; ho litri 7 1 0
Verso il 1° nel 3°; ho litri 4 1 3
Verso il 3° nel 2°; ho litri 4 4 0
Che è la soluzione data da Tartaglia, libro 16, N. 132.

26. Problema del lupo, della capra e del cavolo
(TARTAGLIA, libro 16, N. 141).
Un tale ha con sè un lupo, una capra e un cavolo; e deve traversare un fiume, con una barca, in cui può portare un sol .. oggetto per volta. Egli vuoI traversare col cavolo, ma la capra gli dice: non lo fare che il lupo mi mangia. Egli vuoI traversare col lupo, ma il cavolo gli dice: non lo fare che la capra mi mangia. Come farà?
Traghetta la capra, poi il cavolo, e riporta la capra, traghetta il lupo, e infine la capra; e così ha salvato capra e cavolo. "e da questo è nasciuto un certo proverbio fra gli huomini, dicendo in qualche proposito, egli ha salvato la capra e i verzi (cavoli)".

27. Un negoziante aumenta del 20 per 100 i prezzi segnati sulle sue merci; poi mediante un avviso, dice di concedere ai suoi avventori lo sconto del 20 per 100 sui prezzi segnati. Quale sconto egli fece sui prezzi primitivi?
RISPOSTA: Il 4 per 100.

28. Pietro, che possiede 1024 lire, si mette a giocare alla pari cioè, se vince, guadagna una somma pari alla puntata. Egli gioca 10 partite, e punta sempre la metà del denaro che possiede. In fine egli ha guadagnato 5 partite e perdute 5. Avrà egli guadagnato?
RISPOSTA: Egli ha perduto 781 lire, oltre il tempo.

Operazioni curiose
29.
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
Ibn Albanna, matematico arabo, vivente al Marocco verso il 1200, pubblicò queste moltiplicazioni curiose, e le seguenti.

30.
12345679 x 9 = 111 111 111
12345679 x 8 = 98765432.

31.
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1 111
1234 x 9 + 5 = 11 111
12345 x 9 + 6 = 111 111
123456 x 9 + 7 = 1 111 111
1234567 x 9 + 8 = 11 111 111
12345678 x 9 + 9 = 111 111 111

32.
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 +7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

33.
9 x 9 + 7 = 88
9 x 98 + 6 = 888
9 x 987 + 5 = 8888
9 x 9876 + 4 = 88888
9 x 98765 + 3 = 888888
9 x 987654 + 2 = 8888888
9 x 9876543 + 1 = 88888888
9 x 98765432 + 0 = 888888888.

34.
Disposizione particolare delle cifre 1, 2,....... 9:
2 x 78 = 156 = 39 x 4

35.
9 = 97524/10836
= 95823/10647
= 95742/10638
= 75249/08361
= 58239/06471
= 57429/06381.
In ognuna di queste espressioni di 9 figurano tutte le cifre, ognuna una volta sola.

36. Dividere il numero 100 in quattro parti, in modo che la prima più 4, eguagli la seconda meno 4, e la terza moltiplicata per 4, e la quarta divisa per 4.
100 = 12 + 20 + 4 + 64
12 + 4 = 16
20 - 4 = 16
4 x 4 = 16
64 / 4 = 16.

37. Moltiplica un numero di più cifre per 1000; addiziona il prodotto al numero dato; dividi la somma per 7, poi per Il, poi per 13. Ritroverai il numero dato.

38. Theone da Smirne, che visse verso il 100, Boezio morto nel 525, ed altri, chiamano numeri sferici, i numeri i cui quadrati terminano colle stesse cifre. Esempi:
52 = 25
62 = 36
252 = 625
762 = 5776
3762 = 141376
6252 = 390625
93762 = 87909376
906252 = 8212890625

39. Numeri ciclici
Il numero 142857 moltiplicato per 2, 3, 4, 5, 6, dà i prodotti 285114, 428571, 571428, 714285, 857142 contenenti le stesse cifre, permutate in ordine circolare. Esso moltiplicato 7 vale 999999.

40. Il numero di 18 cifre: 526 315 789 473 684 210 moltiplicato per 2, 3, ...18, dà sempre le stesse cifre permutate in circolo. Esso vale (1018-1)/19.
I numeri ciclici sono anche detti "numeri della Fenice", perchè si riproducono per moltiplicazione, come la favolosa araba fenice. Queste cifre sono il periodo di 1/19 sviluppato in frazione decimale.
In generale, i numeri cicli ci si ottengono da (10n-1) /n. attribuendo ad n i valori, 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61,97, 109, 130, 149... Qui si può vedere un teorema di Fermat, o lo sviluppo d'una frazione ordinaria in frazione decimale periodica.

41. Un topo generò 7 topi; ognuno di questi altri 7 i topi; ognuno di questi altri 7; e ognuno di questi altri 7. Quanti topi in tutto?
RISPOSTA: 1 + 7 + 72 + 73 + 74 = 2801.
Questo problema è liberamente tradotto dal papiro egiziano di AHMES, di 4000 anni fa.

42. "Septem vetulae vadunt Romam; quarum quaelibet, habet burdones 7; et in quolibet burdone sunt sacculi 7; et in quolibet sacculo panes 7; et quilibet panis habet cultellos 7; et quilibet cultellus habet vaginas 7. Quaeritur somma omnium praedictorum" (LEONARDO, pag. 311). Sommando le 7 vecchierelle colle 49 vesti, colle 343 saccoccie, coi 2401 pani, coi 16 807 coltelli e colle 117 649 buste, si hanno 137 256 oggetti. Questo problema, in sostanza identico al precedente, ed ancora popolare al giorno d'oggi, conduce alle progressioni geometriche. La regola per la loro somma si trova in Euclide, libro IX, prop. 35.
Indovinelli aritmetici.

43. Il Maestro, e i piccoli allievi Pietro e Paolo.
MAESTRO: Pietro, pensa un numero.
PIETRO: Pensato.
MAESTRO: Aggiungi uno.
PIETRO: Aggiunto.
MAESTRO: Quanto hai trovato?
PIETRO: Sei.
MAESTRO: Tu Paolo, indovina il numero pensato da Pietro.
PAOLO: 6 - 1 = 5, tale è il numero pensato.
MAESTRO: Bravo Paolo, hai fatto un primo passo in Algebra.

44. Gli stessi...
MAESTRO: Paolo, pensa un numero, raddoppialo, aggiungi 3, dicci il risultato, e tu Pietro indovina il numero pensato.
PAOLO: 15.
PIETRO: (15 -3) / 2 = 6.
MAESTRO: Bravo Pietro, hai fatto un lungo passo nell'Algebra.

45. Pensa un numero, raddoppialo, aggiungi 8, dividi per 2, sottrai il numero pensato; avrai 4.

46. Pensa un numero, moltiplica per 2, aggiungi 5, moltiplica per 5, aggiungi 10, e moltiplica per 10, e dimmi il risultato. Se da questo sottraggo 350, e divido per 100, ho il numero pensato. Se esso è n:
(( n X 2 + 5) x 5 +10) X 10 - 350) / 100 = n. Così LEONARDO, nel capitolo "de divinationibus".

47. Scrivi un numero di tre cifre, decrescenti di 1 per volta; capovolgi; fa la differenza fra i due numeri.
Avrai 198.
ESEMPIO: 987 - 789 = 198.

48. Scrivi un numero di tre cifre decrescenti, inverti l'ordine delle cifre, fa la differenza dei due numeri, e a questa differenza aggiungi la medesima colle cifre invertite. Troverai 1089.
ESEMPIO: 763 - 367 = 396; 396 + 693 = 1089.

49. Scrivi un numero di tre cifre, inverti l'ordine i delle cifre, e fa la differenza dei due numeri, maggiore meno minore. Dimmi l'ultima cifra della differenza, e ti dirò la differenza.
la cifra media è 9; la prima cifra = 9 - ultima. Se però l'ultima cifra è 0, la differenza = 0.

50. Scrivi un numero di più cifre, moltiplica per10, sottrai il primo numero, cancella nella differenza una cifra non nulla, e dimmi la somma delle rimanenti.
La cifra cancellata più la somma delle cifre rimaste deve essere un multiplo di 9, il che permette di determinarla. Se p. es. la somma è 15, la cifra cancellata è 3, perchè 15 + 3 = 18. La differenza considerata è un multiplo di 9.

51. Si dice ad una persona di prendere tre carte, aventi i numeri o punti da 1 a 10; poi di moltiplicare il numero della prima carta per 2, aggiungere 1, moltiplicare il risultato per 5, aggiungere il numero della seconda carta, moltiplicare il risultato per 2, aggiungere 1, moltiplicare il risultato per 5, ed aggiungere la terza carta. Si domanda il risultato finale di tutte queste operazioni.
Se da questo risultato si sottrae 166, si avrà un numero di tre cifre, le quali aumentate di 1, daranno i numeri delle tre carte. Se per esempio il risultato finale meno 166 vale 237, le carte sono 3, 4, 8.
Questo problema è una complicazione dell'altro troppo semplice: pensa tre cifre; addiziona la prima moltiplicata per 100 colla seconda moltiplicata per 10 e colla terza. Se il risultato è 348, avrai pensato 3, 4, 8.

52. "Quidam ivit negotiando Lucam, deinde Florentiam, et reversus est Pisas; et fecit in unaquaque civitate duplex, et in unaquaque expendidit denarios 12; et in fine nil remansit ei. Quaeritur quot in prjncjpio habuit". (LEONARDO, pag. 329).
Questo negoziante pisano, che commerciò in Lucca, poi a Firenze, e in fine nella sua città, ed ovunque raddoppiò i denarj che aveva ivi riportati, e vi spese 12 denari, e cosi si trovò con zero, aveva in principio denari 10 e mezzo.

53. Un divoto pregò Giove affinchè gli raddoppiasse i denari che aveva in tasca, e gli avrebbe in compenso date 8 lire. Così fu fatto. Allora pregò Venere dello stesso miracolo e pagò 8 lire; e infine pregò Mercurio che gli raddoppiasse i denari, e gli pagò le 8 lire; e cosi si trovò possessore di nulla. Quanti denari aveva in principio?
L. 7. E' lo stesso problema precedente. Leonardo risolve questo problema in due modi, colla regola diretta "regula recta"; e colla inversa "regula versa".
Colla regola diretta: Chiamiamo cosa (res) il capitale che egli aveva in principio; lo duplicò ed ebbe 2 cose, pagò 8 lire e gli rimase 2 cose -8 lire. Lo duplicò la seconda volta, ed ebbe 4 cose -16 lire. Pagò lire 8, e restò con 4 cose -24 lire. Lo duplicò la terza volta ed ebbe 8 cose -48 lire. Pagò lire 8, e gli rimase 8 cose -56 lire = O, onde 8 cose = 56 lire, e cosa = 7 lire.
E questa la soluzione oggi usata in Algebra, salvo che invece di cosa si scrive x.
Colla regola inversa: Quella persona che pagò la terza volta 8 lire e nulla gli rimase, prima di pagare aveva 8 lire. E prima che si raddoppiassero per la terza volta aveva 4 lire, e prima di pagare la seconda volta aveva 4 + 8 = 12 lire, e prima del secondo raddoppiamento aveva 6 lire, e prima di pagare la prima volta aveva 6 + 8 = 14 lire, e prima del primo raddoppiamento aveva il capitale iniziale di 7 lire.

54. In un cortile sonvi galline e conigli, in tutto 40 teste e 100 gambe. Quante galline e quanti conigli?
Leonardo risolve problemi simili colla regola araba della doppia falsa posizione: "Elchataim quidem arabice, latine duarum falsarum positionum regula interpretatur, per quam fere omnium quaestionum solutio invenitur".
Poniamo 0 conigli; le galline sono 40, le gambe 80, mancano 20 per arrivare a 100.
Aumento di 1 il numero dei conigli: il numero delle galline diminuisce di 1 , e le gambe aumentano di 4 - 2 = 2.
Divido 20 per 2, ottengo 10; dunque 10 sono i conigli, e 30 le galline.
TARTAGLIA, libro 17, scrive il nome arabo sotto la forma Helcataym. Questa regola semplice è ora poco usata, e sostituita col sistema di due equazioni di primo grado.

55. Antonio dice a sua sorella Maria; io ho tanti fratelli quante sorelle. Maria risponde: io ho due volte più fratelli che sorelle. Quanti figli e quante figlie in quella famiglia?
RISPOSTA: 4 maschi e 3 femmine.

56. Gioco a 2
Di due persone, una dice un numero da 1 a 10, l'altra aggiunge un numero sempre da 1 a 10, la prima aggiunge un numero fra gli stessi limiti, e così via. Chi prima arriva a dire 100, vince. Come si fa a vincere?
Chi primo dice 89, potrà al colpo successivo dire 100; e per essere certi di dire 89, basta dire 78, 67, 56, 45, 34, 23, 12, 1.

57. Sonvi 3 persone, e 3 monete, una d'oro, l'altra d'argento, e la terza di rame. Si danno alle tre persone rispettivamente 1, 2, 3 granelli, e sul tavolo se ne lasciano 18. Chi fa il gioco, va in disparte, e invita le tre persone a prendere una moneta per uno. Poi si prega colui che ha la moneta di oro, a prendere tanti granelli quanti ne ha in mano; chi ha la moneta d'argento ne prenda il doppio di quelli che aveva; chi ha la moneta di rame, prenda il quadruplo dei granelli che gli furono dati.
Allora si contano i granelli rimanenti dei 18. Essi possono essere 1, 2, 3, 5, 6, 7, corrispondenti alle 6 permutazioni dei tre oggetti.
Questo problema si trova in TARTAGLIA, libro 16, N. 196. L'autore dà una regola mnemonica per ricordare la permutazione.
Altra ne dà BACHET, ed un'altra OUGHTRED, Mathematical recreations, London, 1653.
LEONARDO, pag 307, espone problemi simili, e ne dà la soluzione aritmetica, che si può tradurre come segue:
Chiamo metallo 0, metallo 1, metallo 2, rispettivamente oro, argento e rame. Divido (8 - (meno) numero dei granelli rimasti) per 3; il quoto è il metallo scelto dalla terza persona, e il resto è quello della seconda.
Le monete si possono sostituire con un pomo, un fico, una noce.

58. I bianchi e i neri
Avendosi 15 pedine (o carte) bianche, e 15 nere, disporle in circolo, in modo tale che contandole da un punto determinato, e levando ogni nona pedina, si tolgano tutte le pedine nere.
TARTAGLIA, libro 16, N. 203, dà la soluzione indicata colla frase:
Populeam virgam mater regina tenebat.
Le vocali a, e, i, o, u valgono 1, 2, 3, 4, 5; le consonanti non contano. Quella frase indica la successione dei numeri 4, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 1. Disponendo 4 bianche, 5 nere, 2 bianche, ecc., si avrà la soluzione richiesta.
BACHET, Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, pubblicato a Lione nel 1613, alla frase latina, sostituisce la francese:
Mort tu ne falliras pas en me livrant le trépas.
Volendo, col levare ogni terza pedina, togliere tutte le nere, Tartaglia dà la frase:
Egl'è passata Venere amata, che fece la barchetta rea, cioè bisogna porre 2 bianche, 2 nere, 1 bianca, 1 nera, ecc. ,
Questo passatempo può essere utile per far contare ai bambini, ed insegna un metodo mnemonico per ricordare cifre.

59. Un padre distribuisce fra i suoi figli i denari di una borsa. Al primo figlio dà 1 lira e il settimo di ciò che rimane. Al secondo dà 2 lire e il settimo di ciò che rimane. Al terzo dà 3 lire e il settimo di ciò che rimane. E così di seguito; e distribuì tutti i denari della borsa, e risultò che , ognuno dei figli ricevette la stessa somma. Quanti erano i figli e quante le lire nella borsa ?
RISPOSTA. I figli erano 6, e le lire 36. Questo problema si trova in LEONARDO, pag. 279, ed in molti altri autori.
Se il problema precedente è troppo difficile in una scuola, si inverte: un padre distribuisce fra i suoi figli 36 lire. Al primo figlio dà 1lira + 1/7 di ciò che rimane. Quanto diede al primo figlio? Al secondo diede 2 lire + 1/7 di ciò che rimase. Quanto diede al secondo figlio? ecc.
In generale, se il padre dà al primo figlio la somma a più 1/n di ciò che rimane, e al secondo figlio 2a più 1/n' del rimanente, ecc., e così distribuisce tutti i denari in parti eguali, i figli sono n - 1, e la somma distribuita è (n - 1)2a.
EULERO risolse questo problema, ed altri più difficili.

60. Quanti chilogrammi pesa un oggetto pesante 1 kg. più della metà del proprio peso?
RISPOSTA: 2 kg.

61. Qual è la metà dei due terzi, dei tre quarti, dei quattro quinti di un soldo?
RISPOSTA: Era un centesimo.

62. Una persona fa il giro del mondo, sempre in piedi. Di quanto il cammino della testa supera il cammino dei piedi?
RISPOSTA: Della circonferenza di raggio l'altezza della persona.

63. Pensa un numero, moltiplica per 3, aggiungi uno dei numeri 1, 2, 3, ad arbitrio; moltiplica per 3, aggiungi il numero pensato. Cosa hai trovato?
Se r è il risultato, r quot 10 è il numero pensato.

Numerazioni
Nella numerazione romana si usano i segni:
I=1, V=5, X=10, L=50, C= 100, D=500, M=l000.
Questi segni avevano dapprima una forma speciale, quale si trova nella colonna Duilio, dell'anno 251 a.C., ancora esistente in Roma, ed in altre iscrizioni. Poi si confusero colle lettere dell'alfabeto. Ogni altro numero si esprime per addizione coi precedenti, raramente per sottrazione.
ESEMPIO: Boezio, ucciso da Teodorico nell'anno 525, nel suo libro "De institutione arithmetica", cosi esprime le potenze di 2: I. II. IIII. VIII. XVI. XXXII. LXIIII. CXXVIII.
Numeri quadrati: I. IIII. VIIII. XVI. XXV. XXXVI. XL VIIII. LXIIII. LXXXI. C.
Numeri cubi: I. VIII. XXVII. LXIIII. CXXV. CCXVI. CCCXLIII.
Il numero 4 è sempre indicato per IIII in tutti i monumenti romani e nei libri; la forma sottrattiva IV comparisce dopo il 1600. La forma IX si trova raramente nelle antiche iscrizioni. Nei monumenti, i segni rappresentanti numeri erano spesso sopralineati, per distinguerli dalle lettere dell'alfabeto. Ma nei manoscritti si trova sopralineato il numero delle migliaia. Così nelle opere matematiche di Gerberto, che diventò papa, sotto il nome di Silvestro II, dal 972 al 1003, trovasi:
"jugerum pedes vero XXVIII DCCC"
cioè "il jugero, rettangolo di 240 piedi per 120 piedi, vale 28 800 piedi quadrati".
L. VIRIGLIO, I segni numerali romani, "R. Accademia delle Scienze di Torino" anno 1916, riproduce numerose iscrizioni romane, contenenti numeri.

Abaco
Gli antichi per calcolare, si servivano di sassolini, detti in latino "calculi ", onde la nostra parola calcolo, ancorchè le pietruzze non si usino più. nel calcolo algebrico e infinitesimale. Ma si usano ancora utilmente, sostituite con ciliegie o noci, nelle prime scuole.
Pitagora, che visse dall'anno 570 a. C. al 470 circa, insegnò, per calcolare su numeri grandi, a dividere una tavola in colonne, intestate uno, dieci, cento, mille, ecc., e in ogni colonna si scrivevano, o si indicavano con calcoli, le unità dei varii ordini. Nella "Ars Geometrica", libro che era attribuito a Boezio, ma che pare del mille, sta scritto: "Pythagorici vero, ut in omnibus rebus erant ingeniosissimi et subtilissimi, descripserunt sibi quandam formulam quam ob honorem sui praeceptoris mensam Pythagoream nominabant; a posterioribus appellatur abacus ".
Se le pallottoline sono infilzate in aste, risulta l' ingombrante pallottoliere.
Molto più comoda è la disposizione per cui ogni asta è divisa in due parti: le pallottole di una parte indicano uno, e sono in numero di 4; nell'altra parte si trova una pallottola mobile, col valore di 5 (v. figura).
abaco In figura è indicato il numero 64735012.
Questo abaco si è trovato negli scavi di Pompei. È diffusissimo fino dai tempi più antichi presso i Cinesi, col nome di Suan-pan, o tavola per calcolare; essi vi eseguiscono tuttora calcoli con grande rapidità e meraviglia dei viaggiatori Europei.
Di questo abaco parla Lao Tze, contemporaneo di Confucio, a. 500 a. C.
PERNY, Grammaire chinoise, Paris, 1873, vol. 1, pag. 168, l'attribuisce a Cheu Ly, anno 2637 a. C.
Si può costruire con una cornice di cm. 10 x 12, del filo e delle perline. Per facilitare i riporti, alcuni abachi contengono due palline col valore 5, e 5 col valore 1.
Dalla Cina l'abaco passò in Giappone col nome di Soroban, e in Russia, col nome di S'cioti = calcoli.
Il matematico francese J. V. Poncelet, che fu prigioniero in Russia durante la guerra napoleonica del 1812-14, vi imparò l'abaco, e lo importò nelle scuole elementari francesi. Sarebbe desiderabile una maggiore diffusione di questo semplice ed utile strumento di calcolo.
Ai nostri tempi, all'abaco si sostituisce la carta quadrettata, che facilita l'incolonnamento delle cifre ed è utilissima in lunghi calcoli.
Abaco è parola latina, dal greco, e significa "tavola". Il nome di "tavola pitagorica" passò poi verso il 1600 a significare la tavola di moltiplicazione.

Segni di Aritmetica
In Aritmetica si usano segni, o simboli ideografici, rappresentanti idee, e non parole; sono tali le cifre 0, 1,... 9, i segni di operazioni +, -, ..., di relazione =, ecc.
Le cifre 0, 1, 2,... 9 furono introdotte in Europa verso il 1200; noi le imparammo dagli Arabi, e questi dagli Indiani.

Leonardo accompagnò suo padre "publicus scriba", cioè notaio della repubblica di Pisa, in Bugia (Bougie), città dell'Algeria; nei suoi viaggi studiò il "modum indorum", e nel 1202 scrisse il suo "Liber Abaci", che comincia colle parole:
"Novem figurae indorum hae sunt 987654321. Com his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus".

La forma delle cifre arabiche è:
cifre arabe
Gli arabi scrivono da destra a sinistra.
La cifra 1 è una sbarra; 2 è una deformazione di =; 3 di =.
La forma delle cifre si fissò dopo l'invenzione della stampa. Lo zero era figurato con un punto dagli Indiani, e lo è ancora dagli Arabi. Il nostro modo di scrivere i numeri con cifre è la rappresentazione sulla carta dell'abaco.
+ "più" e - "meno" comparirono verso il 1500, sostituendo le antiche iniziali di plus e minus.
x "moltiplicato", è generalmente sottinteso fra due lettere, e fra un numero e una lettera. Questo segno con questo significato s'incontra in Oughtred e in Harriot 1631, e usato da Wallis, Newton, ecc. divenne universale.
a/b e (a fratto b) indicano la divisione; questa notazione rimonta agli Indiani, e si trova in Leonardo Pisano 1202. Le due forme sono egualmente facili a scriversi, ma la prima è in tipografia molto più comoda della seconda; ed è anche più facile a leggersi.
am "a elevato m". Questa notazione si trova in Cartesio 1637, e sostituì notazioni antiche.
= "eguale", introdotto da Recorde nel 1557, usato da Newton (1660-1727), si è diffuso dappertutto, sostituendo l'iniziale della parola aequalis prima usata.
> "maggiore" e < "minore", si trovano in Harriot 1631, e sostituirono segni prima usati.
Se a e b sono interi, a/b, "a diviso b" è in generale un numero fratto.
Scriveremo "a quot b", ed "a resto b" per indicare il quoto o quoziente intero della divisione di a per b.
ESEMPIO:
50 quot 7 = 7
50 resto 7 = 1
Non c'è una notazione uniforme per indicare questi risultati; la più comune è quot (a, b) e resto (a, b). Anche il valore delle parole quoto e quoziente non è uniforme nei libri.
Per indicare l'ordine delle operazioni aritmetiche, si usarono varie notazioni; la più comune è quella delle parentesi, che fu diffusa specialmente da Eulero.
Per ulteriori informazioni storiche, vedasi il mio articolo: Sulla forma dei segni di Algebra, "Giornale di Matematica finanziaria", diretto dal prof. INSOLERA, Torino 1919.
Dovendosi fare più operazioni successive, p. es. 1+2+3+4. si dice 1 più 2, eguale 3, più 3, eguale 6, più 4, eguale 10. In alcuni libri sta scritto:
1+ 2 = 3 + 3 = 6 + 4 = 10;
questa notazione è giudicata erronea dalla maggioranza. Ma la verità, anche in matematica, è relativa alle convenzioni che si fanno. Chi la giudica erronea, intende che essa significhi 1 + 2 = (3 + 3); mentre quelli che la usano, intendono che significhi:
((1 + 2 = 3) + 3 = 6 ) + 4 = 10.
Le parentesi iniziali, in ogni formula matematica, sono inutili, come pure le chiuse finali. Quindi si può abbreviare la scrittura così:
1 + 2 = 3) + 3 = 6) + 4 = 10.
Questa scrittura non si presta ad equivoci, e ha tutti i vantaggi della brevità; ma ha l'inconveniente della novità.
Chi non adotta questa convenzione, deve scrivere:
1 + 2 = 3; 3 + 3 = 6; 6 + 4 = 10.
Se il numero che si scrive due volte è complicato, Eulero lo rappresenta con p, leggi "precedente":
1 + 2 = 3, p + 3 = 6, p + 4 = 10.
Nelle frazioni decimali, per separare la parte intera dalla rimanente mantissa, da noi si suole usare la virgola 2,3 = 2 + 3/10. Ma essendovi pericolo di confondere questa virgola decimale colla virgola ortografica, gli autori inglesi specialmente, ed anche altri, usano il punto in alto "." così 3.
14 = 3 + 14/100. In alcune tavole di logaritmi si trova anche il punto in basso.

OPERAZIONI ARITMETICHE
§1. In aritmetica elementare si dà per ogni operazione una regola. Ma sonvi altri modi per eseguire le stesse operazioni, che alcune volte sono più opportuni di quelli che si studiano in aritmetica pratica. Questi metodi sono esposti negli antichi libri. Il grande matematico Cauchy se ne occupò in più memorie all'Accademia delle Scienze di Parigi, nel 1840. Altri sono esposti dal calcolatore Houzeau nell' Accademia delle Scienze di Bruxelles, a. 1875. Sonvi anche libri speciali su questo soggetto. Vedasi: UGO CASSINA, Calcolo numerico, Libreria Perotti, Torino, 1923.
Questo libro contiene preziose informazioni storiche sui calcoli elementari, come pure sulle radici, logaritmi, sviluppi in serie, ecc.

Addizione
§ 2. I calcolatori consigliano, dopo aver calcolato la somma delle cifre di una colonna, di scrivere la cifra del riporto nella colonna di sinistra in tal modo si può interrompere l'operazione, senza dover ricominciare da capo; e si può verificare una colonna, indipendentemente dalle altre. Ciò è specialmente utile, dovendosi sommare molti numeri.
Riporti 1200.

Riporti 1200
Stella di 1a grandezza  20
Stella di 2a grandezza 51
Stella di 3a grandezza 200
Stella di 4a grandezza 595
Stella di 5a grandezza 1213
Stella di 6a grandezza 3640
Somma 5719


ESEMPIO: Conoscendo il numero delle stelle delle varie grandezze, dalla prima o più luminosa fino alla sesta, che sono le più piccole, che si possano vedere ad occhio nudo, per trovare il numero delle stelle visibili ad occhio nudo, si fa la somma. La somma delle unità vale 9, che si scrive. La somma delle decine vale 21; scrivo l nella somma, e scrivo 2 nei riporti, colonna delle centinaia. La somma delle centinaia vale 17; scrivo 7 centinaia nella somma, e l migliaio nei riporti.
Le stelle che si possono vedere ad occhio nudo, in un dato momento, sono solo la metà delle precedenti, circa 3000, quanti gli abitanti di un piccolo villaggio.

§ 3. Cauchy insegna una prova dell'addizione. Si sommano le cifre degli addendi:
2 + 6 + 2 + 19 + 7 + 13, con quelle dei riporti 3 = 52. Si sommano le cifre del totale 22 con quelle dei riporti moltiplicati per l0, cioè 30; e si ha 52 come prima.

§ 4. L'addizione si può fare da sinistra e destra. Nell'esercizio precedente, sommo prima le migliaia, poi le centinaia, poi le decine, poi le unità; e poi addiziono le somme parziali.

4000
1500
210
9
________
5719

§ 5. I contabili (così riferisce Houteau), per calcolare una lunga somma, usano il metodo che qui espongo col breve esempio precedente.
Sommate le 9 unità, si passa alle decine, e si dice: 2 + 5 = 7; 7 + 9 = 16, pongo il * che vuol dire 10 e dico 6; 6 + 1 = 7, 7 + 4 = 11, pongo * che significa 10, e scrivo 1 nella somma. Conto gli * segnati, e li riporto come centinaia. 2 di riporto + 2 = 4; 4 + 5 = 9; 9 + 2= 11, scrivo *, e dico 1; 1 + 6=7 che scrivo nella somma e riporto un *.

2 0
5 1
2 0 0
5 9*5
 1 2*1 3
 3 6 4*0
_______
5 7 1 9

§ 6. Addizione col nastro (addition au ruban di HOUZEAU)
Nelle banche si usa una riga fissa, lunga un decimetro, su cui sono segnati i centimetri, ed un nastro lungo circa un metro, su cui sono pure segnati i centimetri; e si misurano successivamente sul nastro tanti centimetri quante sono le unità delle cifre di una colonna, e si legge la somma sul nastro. Invece della lunghezza del centimetro, è più comodo il pollice, che si può fare di 2 centimetri.
Sonvi anche macchine addizionatrici, alcune abbastanza semplici, ma non elementari.

§ 7. Addizione e Sottrazione contemporanee (o somma algebrica di numeri)
La somma di più numeri relativi dicesi anche "somma algebrica".
Nell'uso comune avendosi da sommare dei numeri positivi e negativi, quali "entrata e uscita", "attivo e passivo ", "debito e credito", si suoI tenere due registri, l'uno delle entrate, o dei termini positivi, e l'altro delle uscite, o dei termini negativi, sommarli rispettivamente, e poi farne la differenza. Spesso si tiene un registro solo, ma le entrate si scrivono m una colonna e le uscite in un'altra. Ciò però non è necessario. vogliasi per es. calcolare la somma qui. scritta in cui i termini sono alternativamente positivi e negativi (e ognuno è la parte intera del precedente divisa per 2).
Sommo per colonne dall'alto in basso. Sommo le cifre delle unità. e dico:
0 - 0 = 0) + 0 = 0) -5 = - 5) +2 = - 3) - 1 = - 4) + 5 = 1) - 7 = - 6) + 3 = - 3) - 1 = - 4 = = 6 - 10; scrivo 6 nella colonna delle unità, e riporto -1. Sommo le decine e dico: -1 di riporto + 5 = 4) - 2 = 2) + 6 = 8) - 3 = 5) + 1 = 6, che scrivo. Sommo le centinaia: 10 - 5 = 5) + 2 = 7) - 1 = 6, che scrivo, ed ho la somma 666.

1000
-500
+250
-125
+62
-31
+15
-7
+3
-1
_______
666

Moltiplicazione
§ 8. I prodotti di due cifre una volta si facevano imparare a mente, facendoli ripetere più volte, con una cantilena, che già fu giudicata odiosa da S. Agostino, anno 354 al 450: "unum et unum duo, duo et duo quatuor, odiosa cantio mihi erat" (Confessiones I, 13). Egli attesta che in quei tempi nelle scuole si faceva anche odiare il greco ed il sommo Omero.
LUCAS, Arithmétique amusante. Paris 1895, dice:
"Pour apprendre à notre écolier la multiplication, gardons-nous bien de lui faire réciter, sur un ton dolent et monotone, deux fois deux font quatre, deux fois trois font six,...; ce serait donner à ses facultés arithmétiques un enterrement de première classe. L'enfant doit construire la Table lui-meme".
Lo stesso dice LAISANT, lnitiation mathématique, Paris 1915, pag. 6: "Attachez-vouz à intéresser, à amuser l'enfant, ne lui faites rien apprendre par coeur". Gli stessi principii sono insegnati da tutti i pedagogisti.

§ 9. Per costruire la tavola di moltiplicazione, si scrivono sulla prima linea i numeri
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Poi contando per 2, si ha la seconda linea:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Si verifica che questi numeri si ottengono anche addizionando i numeri della prima linea con essi stessi; ossia si riconosce la proprietà commutativa del X:
2 x 8=8 x 2
I multipli di 3 si ottengono contando per 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.
Oppure addizionando i numeri della linea 1con quelli della 2.
Per moltiplicare per 4, si raddoppia due volte.
Per moltiplicare per 5, si osserva che:
2 x 5 =10. 4 x 5 = 20. 6 x 5 = 30. 8 x 5 = 40.
Poi 7 x 5 = (6 + 1) X 5 = 6 x 5 + 5 = 30 + 5 = 35. 9 x 5 = 8 x 5 + 5 = 45.
Siccome la tavola non si altera, scambiando le linee colle colonne, rimangono i prodotti di 6, 7, 8, 9.
6 x 6 = 6 x 5 + 6 = 30 + 6 = 36.
7 x 6 = 7 x 3 x 2 = 21 x 2 = 42.
8 x 6 = 8 x 3 x 2 = 24 x 2 = 48
= 5 x 6 + 3 x 6 = 30 + 18 = 48
= 8 x 5 + 8 = 40 + 8 = 48.
9 x 6=9 x 3 x 2 = 27 x 2 = 54.
7 x 7 = 7 x 5 + 7 x 2 = 35 + 14 = 49.
8 x 7=2 x (4 x 7) = 2 x 28 =56
= 8 x (5 + 2) = 40 + 16 = 56.
8 x 8 = 8 x 5 + 8 x 3 = 40 + 24 = 64.
9 x 8 = 9 x 4 x 2 = 36 x 2 = 72.
I prodotti per 9 si ottengono facilmente colle regole:
9 x 9 =9 x (10 - 1) = 90 - 9 = 81.
8 x 9 = 8 x (10 - 1) = 80 - 8 = 72.
7 x 9 = 7 x (10 - 1) = 70 - 7 = 63.
6 x 9 = 6 x (10 - 1)= 60 - 6 = 54.
I quadrati si possono anche ottenere colla formula:
a2 = (a - 1) x (a + 1) + 1.
ESEMPIO: 52 = 4 x 6 + 1= 24 + 1= 25.
72 = 6 x 8 + 1= 48 + 1= 49.
In tal modo, un prodotto, che non ricordiamo, viene collegato ad altri più facili.

§ 10. Per calcolare il prodotto di due cifre fra 5 e 10, si può usare la moltiplicazione digitale.
Per avere (5 + a) x (5 + b), ove a e b valgono da 1 a 4 si dirizzino a dita della mano destra, e b della sinistra, e ad (a + b) x 10 si aggiunga il prodotto delle dita rimaste piegate nelle due mani. Infatti.
(5 + a) x (5 + b) = (a + b) x 10 + (5 - a) x (5 - b).
Questo metodo era noto agli Arabi, e forse ai Greci e Romani.
In altri tempi la stessa regola, col nome di moltiplicazione per differenze, fu esposta così:
Per avere 9 x 8, scrivo accanto a questi due numeri le loro differenze a 10, cioè 1 e 2. Sommo i numeri della prima colonna e tolgo 10; ho 7; moltiplico le differenze 1 x 2 = 2; il prodotto = 72.
9 1
8 2
___
7 2

§ 11. Moltiplicazione egiziana
Il papiro egizio del calcolatore Ahmes, che rimonta ad oltre 4000 anni, contiene la seguente moltiplicazione di 35 per 42:
Nella prima colonna si scrive il fattore 35, si pone un segno + perchè è dispari; sottratto 1, si divide per 2, e si scrive sotto 17. Accanto a questo si pone il segno + perchè è dispari, e sottratto 1, si divide 16 per 2, e si ha 8, che si scrive sotto. Accanto a questo che è pari, non si pone alcun segno, e si divide per 2, si ha 4 che si scrive sotto; poi sotto la sua metà 2, e sotto la sua metà 1, accanto a cui si pone il segno + perchè dispari. Nella seconda colonna, sotto il 42, scrivo il doppio 84, poi, il suo doppio 168, poi il suo doppio 336, poi 672, e infine 1344. Sommo i numeri della seconda colonna, che sono accompagnati dal segno +, ed ho il prodotto cercato 1470.
Così la moltiplicazione è ridotta ad una serie di duplicazioni.

35+
17+
8  
4  
2  
1+
42
84
168
336
672
1344
______
1470

Questa regola, ritrovata da molti autori più prossimi a noi, è ora una curiosità. Si giustifica osservando che nella colonna di sinistra si è decomposto il 35 in una somma di potenze di 2:
35 = 1 + 2 + 32,
e nella colonna di destra i termini col segno + sono precisamente:
1 x 42 = 42
2 x 42 = 84
32 x 42 = 1344
la cui somma è il prodotto cercato.

neper§ 12. Regoli di Nepero. Su delle liste di carta o di legno si scrivono le colonne della tavola di moltiplicazione. Le caselle quadrate sono divise con una diagonale; in una parte si scrive la cifra delle decine, nell'altra quella delle unità. Così nella figura, nella colonna 6 si leggono i multipli 12, 18, 24.

Poste vicine alcune di queste colonne, per es. quelle intestate 6, 3, 7, si leggono i prodotti di 637 per 2; da destra a sinistra: 4 unità, 1 + 6 = 7 decine, 2 centinaia, 1 migliaio, cioè 1274.
Prodotto per 3: 1 unità, 2 + 9 = 11 decine; scrivo 1, e riporto 1, più 8 = 9 cento, 1 mille, cioè 1911.
Con un po' di attenzione si leggono i prodotti da sinistra a destra: 637 x 4 = 2548; per 5 = 3185; per 6 = 3822, ecc.
Questi regoli, che chiunque si può fabbricare, sono molto utili nei lunghi calcoli. Per moltiplicare due numeri di più cifre, coi regoli si moltiplica il moltiplicando per le successive cifre del moltiplicatore, e si sommano i prodotti parziali.
Nepero, inventore dei logaritmi, suggerì questo metodo in un libro "Rhabdologia" del 1617.
Sonvi pure regoli, in cui si legge il prodotto di un numero di più cifre per una cifra, senza fare le addizioni. Vedasi la mia Aritmetica, ed. Paravia, a. 1902, pag. 20.

§ 13. Moltiplicazione fulminea
multiplication trickI matematici Indiani, verso il 600, eseguivano il prodotto di due numeri, anche senza passare per i nostri prodotti parziali; e chiamarono questo procedimento "vajràbhyàsa", da "vajra" = fulmine, e "abhyàsa"= moltiplicazione.
Essa è spiegata da Leonardo e posteriori.
Prendo il primo esempio in Leonardo: 37 x 49. Moltiplico unità per unità: 7 x 9 = 63. Scrivo 3 unità, e riporto 6 decine. Moltiplico unità per decine: 7 x 4 = 28 (decine), cui aggiungo 6 di riporto, 34; poi decine per unità 3 x 9 = 27, più 34 = 61. Scrivo 1 decina e riporto 6 centinaia. Infine decine per decine 3 x 4 =12, + 6 di riporto, = 18, che scrivo, ed ho il prodotto 1813.
Si può procedere da sinistra a destra; se i fattori hanno molte cifre, Fourier nel 1831, Cauchy nel 1840, e altri, consigliano di scrivere il moltiplicatore sopra una striscia di carta che, capovolta, si dispone successivamente sotto il moltiplicando nel modo indicato dalla figura. Allora si moltiplicano le cifre che stanno sulla stessa verticale e se ne fa la somma. Poi si sommano questi prodotti parziali nel modo indicato dalla figura.

§ 14. I calcoli sono facilitati da tavole numeriche. La più semplice è la tavola di moltiplicazione di due cifre. Essa dal 1600 è comunemente nota col nome di "tavola pitagorica", mentre che prima questo nome indicava l'abaco.
Sonvi tavole dei prodotti di due numeri fino a 100, e formano un libretto. I prodotti di due numeri di tre cifre riempiono un volume. Non esistono tavole più ampie, e non sarebbero pratiche.
I manuali degli ingegneri sogliono contenere nelle prime pagine le tavole dei quadrati, dei cubi, delle radici, ecc. dei numeri fino a 1000, e sono molto utili.
L'Unione Tipografico-Editrice di Torino, pubblicò tavole siffatte in fascicolo separato, che sono molto comode anche per le scuole.

§ 15. Il prodotto di due numeri si può esprimere come differenza di due quadrati, colla formula:
a x b = [(a + b)/2]
2 - [(a - b)/2]2,
che già trovasi in Euclide, libro II prop. 5.
Avendosi, ad esempio, la tavola dei quadrati dei numeri da 1 a 1000, si potrà ricavare il prodotto di due numeri di tre cifre, come risulta dagli esempi che seguono.
ESEMPIO 1°. Calcolare a x b, ove a = 981 e b = 223 sono dispari,

a = 981    
b = 223    
a + b = 1204, (1204)/2 = 602, (602)2 = 362404
a - b = 758, (758)/2 = 379, (379)2 = 143641
  a x b = 218763

La somma e differenza di a e b si fanno come d'ordinario, come pure la loro divisione per 2 i quadrati si leggono nella tavola.

ESEMPIO 2°. Se i due numeri sono pari, si può procedere come prima, oppure si possono dividere per 2:
a = 986, a/2 = 493  
b = 314, b/2 = 157  
  (a + b)/2 = 650, (605)2 = 422500
  (a - b)/2 = 336, (336)2 = 112896
    a x b = 309604

ESEMPIO 3°. Se i numeri sono l'uno pari e l'altro dispari, come 9.87 x 3.14, calcolo come prima: 
  986 x 314 = 309604
Aggiungo: 314
Trovo: 987 x 314 = 309918
   
§ 16. La tavola dei quadrati dei numeri da 1 a 1000 permette di calcolare rapidamente anche il quadrato di un numero di sei cifre. Se x e y sono numeri di tre cifre si ha:
(1'000 x + y)2 = 1'000'000x2 + 1'000[x2 + y2 - (x - y)2] + y2.
ESEMPIO: Vogliasi 3141592
x2 = 3142 = 98 596    
y2 = 1592 = 25 281    
(x - y)2 = 1552 = 24 025
3142 x 106 = 98 596 000 000
3142 x 103 = 98 596 000
1592 x 103 = 25 281 000
1592 =   25 281
-1552 x 103 = - 24 025 000
3141592 = 98 695 877 281

Quindi: 3141592 = 98695877281.

Il numero che si eleva a quadrato è il valore di pi (greco) con 5 decimali. Non bisogna credere che le 10 cifre trovate siano quelle di pi2
pi2 = 9,869 604 4010...

Divisione
§ 17. Se il divisore ha più cifre, conviene calcolarsi la tavola dei suoi prodotti per 2, 3, 4,.., 9; o meglio leggerli nei regoli di Nepero. In ogni caso conviene scrivere i prodotti del divisore per le cifre del quoto, prima di fare la sottrazione. I calcolatori unanimi sconsigliano di fare la moltiplicazione e la sottrazione contemporanee.

§ 18. Se il dividendo è multiplo del divisore, si può calcolare il quoto anche da destra a sinistra.
Se il divisore termina con cifra pari o con 5 cioè è multiplo di 2 o di 5, lo stesso avverrà del dividendo, e possiamo semplificare per questo fattore comune; allora il divisore terminerà con una cifra dispari diversa da 5.
Sia da dividere 309918 per 987. La cifra delle unità del quoto sarà 4, perchè 7 x 4 = 28, termina per 8.
Dal dividendo sottraggo il divisore moltiplicato per 4; poi determino la cifra delle decine e quella delle centinaia, come qui accanto, e trovo per quoto 314, ossia verifico la moltiplicazione del § 15 

  309918
4 x 987 = 3948
Differenza = 305970
10 x 987 = 9870
Differenza = 296100
300 x 987 = 296100
Differenza = 0
Giochi di Aritmetica, Peano © Archimedes Lab
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