Propositiones
ad acuendos iuuenes
(Mathematical Recreations
for math classes) |
Ricreazioni
matematiche per la scuola di Alcuino di York (Albinus Flaccus
Alcuinus) |
Mathematical
recreations (in original language) by Alcuin of York |
I.
PROPOSITIO DE LIMACE.
Limax
fuit ab hierundine inuitatus ad prandium infra leucam unam. In
die autem non potuit plus quam unam unciam pedis ambulare. Dicat,
qui uelit, in quot [annis uel] diebus ad idem prandium ipse limax
perambulabat?
Sequitur
solutio de limace
In
leuca una sunt mille quingenti passus; ¬V¬I¬I D
pedes, ¬X¬C unciae. Quot unciae, tot dies fuerunt, qui
faciunt annos CCXLVI et dies CCX.
II.
PROPOSITIO DE VIRO AMBVLANTE IN VIA.
Quidam
uir ambulans per uiam uidit sibi alios homines obuiantes, et dixit
eis: uolebam, ut fuissetis [Bed. utinam fuissetis] alii tantum,
quanti estis; et medietas medietatis; et huius numeri medietas
[et rursus de medietate medietas]; tunc una mecum C fuissetis.
Dicat, qui uelit, quanti fuerunt, qui in primis ab illo uisi sunt?
Solutio
de eadem propositione
Qui
imprimis ab illo uisi sunt, fuerunt XXXVI. Alii tantum LXXII.
Medietas medietatis XVIII. Et huius numeri medietas sunt VIIII.
Dic ergo sic: LXXII et XVIII fiunt XC. Adde VIIII fiunt XCVIIII.
Adde loquentem, et habebis C.
III.
PROPOSITIO DE DVOBVS PROFICISCENTIBVS.
Duo
homines ambulantes per uiam, uidentesque ciconias, dixerunt inter
se: quot sunt? Qui conferentes numerum dixerunt: Si essent aliae
tantae; et ter [Bed. et etiam] tantae et medietas tertii, adiectis
duobus, C essent. Dicat, qui potest, quantae fuerunt, quae imprimis
ab illis uisae sunt?
Solutio
de ciconiis
XXVIII
et XVIII, et tertio sic; fiunt LXXXIIII. Et medietas tertii fiunt
XIIII. Sunt in totum XCVIII. Adiectis duobus, C apparent.
IV.
PROPOSITIO DE HOMINE ET EQVIS.
Quidam
homo uidit equos pascentes in campo, optauit dicens: utinam essetis
mei, et essetis alii tantum, et medietas medietatis; certe gloriarer
super equos C. Discernat, qui uult, quot equos imprimis uidit
ille homo pascentes?
Solutio
de equis
XL
equi erant, qui pascebant. Alii tantum fiunt LXXX. Medietas medietatis
huius, id est, XX si addatur, fiunt C.
V.
PROPOSITIO DE EMPTORE DENARIORVM.
Dixit
quidam emptor: uolo de centum denariis C porcos emere; sic tamen,
ut uerres X denariis ematur; scrofa autem V denariis; duo uero
porcelli denario uno. Dicat, qui intelligit, quot uerres, quot
scrofae, quotue porcelli esse debeant, ut in neutris numerus nec
superabundet, nec minuatur?
Solutio
de emptore
Fac
VIIII scrofas et unum uerrem in quinquaginta quinque denariis;
et LXXX porcellos in XL. Ecce porci XC. In residuis V denariis,
fac porcellos X, et habebis centenarium numerum in utriusque.
VI.
PROPOSITIO DE DVOBVS NEGOTIATORIBVS C SOLIDOS HABENTIBVS.
Fuerunt
duo negatiatores, habentes C solidos communes, quibus emerent
porcos. Emerunt autem in solidis duobus porcos V, uolentes eos
saginare, atque iterum uenumdare, et in solidis lucrum facere.
Cumque uidissent tempus non esse ad saginandos porcos, et ipsi
eos non ualuissent tempore hyemali pascere, tentauere uenumdando,
si potuissent, lucrum facere, sed non potuerunt; quia non ualebant
eos amplius uenumdare, nisi ut empti fuerant, id est, ut de V
porcis duos solidos acciperent. Cum hoc conspexissent, dixerunt
ad inuicem: diuidamus eos. Diuidentes autem et uendentes, sicut
emerant, fecerunt lucrum. Dicat, qui ualet, imprimis quot porci
fuerunt; et diuidat ac uendat et lucrum faciat, quod facere de
simul uenditis non ualuit.
Solutio
de porcis
Imprimis
CCL porci erant, qui C solidis sunt comparati, sicut supra dictum
est, in duobus solidis V porcos: quia siue quinquagies quinos,
siue quinquies L dixeris, CCL numerabis. Quibus diuisis unus tulit
CXXV, alter similiter. Vnus uendidit deteriores tres semper in
solido; alter meliores duos in solido. Sic euenit, ut is, qui
deteriores uendidit, de CXX porcis XL solidos est consecutus.
Qui uero meliores, LX solidos est consecutus; quia de inferioribus
XXX semper in X solidis; de melioribus uinginti autem in X solidis
sunt uenumdati: et remanserunt utrisque V porci, ex quibus ad
lucrum IIII solidos et duos denarios facere potueunt.
VII.
PROPOSITIO DE DISCO PENSANTE LIBRAS XXX.
Est
discus qui pensat libras XXX siue solidos DC, habens in se aurum,
argentum, auricalchum, et stannum. Quantum habet auri, ter tantum
habet argenti. Quantum argenti, ter tantum auricalchi. Quantum
auricalchi, ter tantum stanni. Dicat, qui potest, quantum in unaquaque
specie [Bed. unaquaeque species] pensat?
Solutio
Aurum
pensat uncias nouem: argentum ter uncias VIIII, id est, libras
duas et tres uncias. Auricalchum pensat ter libras duas et [ter]
III uncias, id est, libras VI et VIIII uncias. Stannum pensat
ter libras VI, et ter uncias VIIII, hoc est, libras XX, et III
uncias. VIIII unciae, et II librae cum III unciis: et VI librae
cum VIIII unciis: et XX librae cum III unciis adunatae, XXX libras
efficiunt.
Item aliter ad solidum.
Aurum
pensat solidos argenteos XV. Argentum ter XV, id est, XLV. Auricalchum
ter XLV, id est, CXXV. Stannum ter CXXXV, hoc est, CCCCV. Iunge
CCCCV, et CXXXV: et XLV: et XV; et inuenies DC, qui sunt librae
XXX.
VIII.
PROPOSITIO DE CVPA.
Est
cupa una, quae C metretis impletur capientibus singulis modia
tria; habens fistulas III. Ex numero modiorum tertia pars et VI
per unam fistulam currit: per alteram tertia pars sola: per tertiam
sexta tantum. Dicat nunc, qui uult, quot sextarii per unamquamque
fistulam cucurrissent.
Solutio
Per
primam fistulam ¬I¬I¬I DC sextarii cucurrerunt.
Per secundum ¬I¬I CCCC. Per tertiam ¬I CC.
IX.
PROPOSITIO DE SAGO.
Habeo
sagum habentem in longitudine cubitos C, et in latitudine LXXX.
Volo exinde per portiones sagulos facere, ita ut unaquaeque portio
habeat in longitudine cubitos V, et in latitudine cubitos IIII.
Dic, rogo, sapiens, quot saguli exinde fieri possint?
Solutio
De
quadringentis octogesima pars V sunt; et centesima IIII. Siue
ergo octuagies V, siue centies IIII duxeris, semper CCCC inuenies.
Tot sagi erunt.
X.
PROPOSITIO DE LINTEO.
Habeo
linteamen unum longum cubitorum LX, latum cubitorum XL. Volo ex
eo portiones facere, ita ut unaquaeque portio habeat in longitudine
cubitos senos, et in latitudine quaternos, ut sufficiat ad tunicam
consuendam. Dicat, qui uult, quot tunicae exinde fieri possint?
Solutio
Decima
pars sexagenarii VI sunt. Decima uero quadragenarii IIII sunt.
Siue ergo decimam sexagenarii, siue decimam quadragenarii decies
miseris, centum portiones VI cubitorum longas; et IIII cubitorum
latas inuenies.
XI.
PROPOSITIO DE DVOBVS HOMINIBVS SORORES ACCIPIENTIBVS.
Si
duo homines ad inuicem, alter alterius sororem in coniugium sumpserit;
dic, rogo, qua propinquitate filii eorum sibi pertineant?
Solutio
eiusdem
Verbi
gratia: Si ego accipiam sororem socii mei, et ille meam, et ex
nobis procreentur filii; ego denique sum patruus filii sororis
meae; et illa amita filii mei. Et ea propinquitate sibi inuicem
pertinent.
XII.
PROPOSITIO DE QVODAM PATREFAMILIAS ET TRIBVS FILIIS EIVS.
Quidam
paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis,
XXX ampullas uitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae
decem dimidiae. Tertiae decem uacuae. Diuidat, qui potest, oleum
et ampullas, ut unicuique eorum de tribus filiis aequaliter obueniat
tam de uitro, quam de oleo.
Solutio
Tres
igitur sunt filii, et XXX ampullae. Ampullarum autem quaedam X
sunt plenae, et X mediae, et X uacue. Duc ter decies; fiunt XXX.
Vnicuique filio ueniunt X ampullae in portionem. Diuide autem
per tertiam partem, hoc est, da primo filio X semis ampullas,
ac deinde da secundo V plenas et V uacuas. Similiter dabis tertio,
et erit trium aequa germanorum diuisio tam in oleo, quam in uitro.
XIII.
PROPOSITIO DE REGE.
Quidam
rex iussit famulo suo colligere de XXX uillis exercitum, eo modo,
ut ex unaquaque uilla tot homines sumeret, quotquot illuc adduxisset.
Ipse tamen ad uillam primam solus uenit; ad secundam cum altero;
iam ad tertiam tres uenerunt. Dicat, qui potest, quot homines
fuissent collecti de XXX uillis.
Solutio
In
prima igitur mansione duo fuerunt; in secunda IIII, in tertia
VIII, in quarta XVI, in quinta XXXII, in sexta LXIIII, in septima
CXXVIII, in octaua CCLVI, in nona DXII, in decima ¬I XXIIII,
in undecima ¬I¬I XLVIII, in duodecima ¬I¬I¬I¬I
XCVI, in quarta decima ¬X¬V¬I CCCLXXXIIII. In quinta
decima ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXVIII, etc.
XIV.
PROPOSITIO DE BOVE.
Bos
qui tota die arat, quot uestigia faciat in ultima riga?
Solutio
Nullum
omnino uestigium facit bos in ultima riga, eo quod ipse praecedit
aratrum, et hunc aratrum sequitur. Quotquot enim hic praecedendo
in exculta terra uestigia figit, tot ille subsequens excolendo
resoluit. Propterea illius nullum reperitur uestigium in ultima
riga.
XV.
PROPOSITIO DE HOMINE.
Quaero
a te, ut dicas mihi, quot rigas factas habeat homo in agro suo,
quando de utroque capite campi tres uersuras factas habuerit?
Solutio
Ex
uno capite campi III. Ex altero III, quae faciunt rigas uersuras
VI.
XVI.
PROPOSITIO DE DVOBVS HOMINIBVS BOVES DVCENTIBVS.
Duo
homines ducebant boues per uiam, e quibus unus alteri dixit: Da
mihi boues duos; et habeo tot boues quot et tu habes. At ille
ait: Da mihi et tu duos boues, et habeo duplum, quam tu habes.
Dicat qui uult, quot boues fuerunt, quot unusquisque habuit.
Solutio
Prior,
qui dari sibi duos rogauit, boues habebat IIII. At uero, qui rogabatur,
habebat VIII. Dedit quippe rogatus postulanti duos, et habuerunt
uterque sex. Qui enim prius acceperat, reddidit duos danti priori,
qui habebat sex, et habuit VIII, quod est duplum a quatuor, et
illi remanserunt IIII, quod est simplum ab VIII.
XVII.
PROPOSITIO DE TRIBVS FRATRIBVS SINGVLAS HABENTIBVS SORORES.
Tres
fratres erant, qui singulas sorores habebant, et fluuium transire
debebant. (Erat enim unicuique illorum concupiscientia in sorore
proximi sui) qui uenientes ad fluuium non inuenerunt, nisi paruam
nauiculam, in qua non potuerunt amplius nisi duo ex illis transire.
Dicat, qui potest, qualiter fluuium transierunt, ne una quidem
earum ex ipsis maculata sit?
Solutio
Primo
omnium ego et soror mea introissemus in nauem et transfretassemus
ultra; transfretatoque fluuio dimisissem sororem meam de naue,
et reduxissem nauem ad ripam. Tunc uero introissent sorores duorum
uirorum, illorum uidelicet, qui ad litus remanserant. Illis igitur
feminis naui egressis, soror mea [quae prima transierat,] intraret,
nauemque reduceret ad nos. Illa egrediente foras, duo in nauem
fratres intrassent, ultraque uenissent. Tunc unus ex illis una
cum sorore sua nauem ingressi ad nos transfretassent. Ego autem
et ille, qui nauigauerat, sorore mea remanente foras, ultra uenissemus.
Nosque ad littora uectos, una ex illis duabus quaelibet mulieribus,
ultra nauem reduceret, sororeque mea secum recepta pariter ad
nos ultra uenissent. Et ille, cuius soror ultra remanserat, nauem
ingressus eam secum reduceret. Et fieret expleta transuectio nullo
maculante contagio.
XVIII.
PROPOSITIO DE HOMINE ET CAPRA ET LVPO.
Homo
quidam debebat ultra fluuium transferre lupum, capram, et fasciculum
cauli. Et non potuit aliam nauem inuenire, nisi quae duos tantum
ex ipsis ferre ualebat. Praeceptum itaque ei fuerat, ut omnia
haec ultra illaesa omnino transferret. Dicat, qui potest, quomodo
eis illaesis transire potuit?
Solutio
Simili
namque tenore ducerem prius capram et dimitterem foris lupum et
caulum. Tum deinde uenirem, lupumque transferrem: lupoque foris
misso capram naui receptam ultra reducerem; capramque foris missam
caulum transueherem ultra; atque iterum remigassem, capramque
assumptam ultra duxissem. Sicque faciendo facta erit remigatio
salubris, absque uoragine lacerationis.
XIX.
PROPOSITIO DE VIRO ET MVLIERE PONDERANTIBVS [PLAVSTRI PONDVS ONVSTI].
De
uiro et muliere, quorum uterque pondus habebat plaustri onusti,
duos habentes infantes inter utrosque plaustrali pondere pensantes
fluuium transire debuerunt. Nauem inuenerunt, quae non poterat
ferre plus, nisi unum pondus plaustri. Transfretari faciat, qui
se putat posse, ne nauis mergatur.
Solutio
Eodem
quoque ordine, ut superius. Prius intrassent duo infantes et transissent:
unusque ex illis reduceret nauem. Tunc mater nauem ingressa transisset.
Deinde filius eius reduceret nauem. Qua transuecta frater illius
nauim ingressus ambo ultra transissent, rursusque unus ex illis
ad patrem reduceret nauem. Qua reducta, filio foris stante, pater
transiret: rursusque filius, qui ante transierat, ingressus nauim
eamque ad fratrem reduceret: iamque reductam ingrediantur ambo
et transeant. Tali subremigante ingenio erit expleta nauigatio
forsitan sine naufragio.
XX.
PROPOSITIO DE HIRTITIIS [HIRICIIS].
De
hirtitiis masculo et femina habentibus duos natos libram ponderantibus,
flumen transire uolentibus.
Solutio
Similiter,
ut superius, transissent prius duo infantes, et unus ex illis
nauem reduceret; in quam pater ingressus ultra transisset; et
ille infans, qui prius cum fratre transierat, nauim ad ripam reduceret,
in quam frater illius rursus ingressus ambo ultra uenissent; unusque
propterea ex illis foras egressus; et alter ad matrem reduceret
nauim: in quam mater ingressa ultra uenisset: qua egrediente foras,
filius eius, qui ante cum patre transierat, nauim rursus ingressus
eam ad fratrem ultra reduceret; in quam ambo ingressi ultra uenissent,
et fieret expleta transuectio nullo formidante naufragio.
XXI.
PROPOSITIO DE CAMPO ET OVIBVS IN EO LOCANDIS.
Est
campus qui habet in longitudine pedes CC, et in latitudine pedes
C. Volo ibidem mittere oues; sic tamen, ut unaquaeque ouis habeat
in longo pedes V, et in lato pedes IV. Dicat, rogo, qui ualet,
quot oues ibidem locari possint?
Solutio
Ipse
campus habet in longitudine pedes CC. Et in latitudine pedes C.
Duc bis quinqus de CC, fiunt XL. At deinde C diuide per IIII.
Quarta pars centenarii XXV. Siue ergo XL uicies quinquies; siue
XXV quadragies ducti, millenarium implent numerum. Tot ergo ibidem
oues collocari possunt.
XXII.
PROPOSITIO DE CAMPO FASTIGIOSO.
Est
campus fastigiosus, qui habet in uno latere perticas C, et in
altero latere perticas C, et in fronte perticas L, et in medio
perticas LX, et in altera fronte perticas L. Dicat, qui potest,
quot aripennas claudere debet?
Solutio
Longitudo
huius campi C perticis, et utriusque frontis latitudo L, medietas
uero LX includitur. Iunge utriusque frontis numerum cum medietate,
et fiunt CLX. Ex ipsis assume tertiam partem, id est, LIII, et
multiplica centies, funt ¬VCCC. Diuide in XII aequas partes,
et inueniuntur CCCCXLI [Bed., CCCXLI]. Item eosdem diuide in XII
partes, et reperiuntur XXXVII. Tot sunt in hoc campo aripenni.
XXIII.
PROPOSITIO DE CAMPO QVADRANGVLO.
Est
campus quadrangulus, qui habet in uno latere perticas XXX, et
in alio perticas XXXII, et in fronte perticas XXXIIII, et in altera
perticas XXXII. Dicat, qui potest, quot aripenni in eo concludi
debent?
Solutio
Duae
eiusdem campi longitudines faciunt LXII. Duc dimidiam LXII, fiunt
XXXI. Ac duae eiusdem campi latitudines iunctae fiunt LXVI. Duc
uero mediam de LXVI, fiunt XXXIII. Duc uero terties [Bed. trecies]
semel, fiunt ¬IXX. Diuide per duodecimam partem bis sicut
superius, hoc est, de mille uiginti, duc per XII, fiunt LXXXV,
rursusque LXXXV diuide per XII, fiunt VII. Sunt ergo in hoc aripenni
numero septem.
XXIV.
PROPOSITIO DE CAMPO TRIANGVLO.
Est
campus triangulus qui habet in uno latere perticas XXX, et in
alio perticas XXX, et in fronte perticas XVIII. Dicat, qui potest,
quot aripennos concludere debet?
Solutio
Iunge
duas longitundines istius campi, et fiunt LX. Duc mediam de LX,
fiunt XXX, et quia in fronte perticas XVIII habet, duc mediam
de XVIII, fiunt VIIII. Duc uero nouies triginta, fiunt CCLXX.
Fac exinde bis XII, id est, diuide CCLXX, per duodecimam, fiunt
XXII et semis; atque iterum XXII et semis per duodecimam diuide
partem..... fit aripennis unus et perticae X, et dimidia.
XXV.
PROPOSITIO DE CAMPO ROTVNDO.
Est
campus rotundus, qui habet in gyro perticas CCCC. Dic, quot aripennos
capere debet?
Solutio
Quarta
quidem pars huius campi, qui CCCC includitur perticis est C, hos
si per semetipsos multiplicaueris, id est, si centies duxeris,
X millia fiunt, hos in XII partes diuidere debes; etenim de X
millibus duodecima est DCCCXXXIII, quam cum item in XII partitus
fueris, inuenies LXVIIII. Tot enim aripennis huiusmodi campus
includitur.
XXVI.
PROPOSITIO DE CVRSV CANIS AC FVGA LEPORIS.
Est
campus, qui habet in longitudine pedes CL. In uno capite stabat
canis, et in alio stabat lepus. Promouit namque canis ille post
illum, scilicet leporem currere. Ast ubi ille canis faciebat in
uno saltu pedes VIIII, lepus transmittebat VII. Dicat, qui uelit,
quot pedes, quotque saltus canis persequendo, et lepus fugiendo,
quoadusque comprehensus est, fecerunt [Bed., confecerint].
Solutio
Longitudo
huius uidelicet campi habet pedes CL. Duc mediam de CL, fiunt
LXXV. Canis uero faciebat in uno saltu pedes VIIII, quippe LXXV
nouies ducti fiunt DCLXXV, tot pedes leporem consequendo canis
cucurrit, quoadusque eumcomprehendit dente tenaci. At uero, quia
lepus faciebat pedes VII, in uno saltu, duc ipsos LXXV septies.
Tot uero pedes lepus fugiendo peregit, donec consecutus est.
XXVII.
PROPOSITIO DE CIVITATE QVADRANGVLA.
Est
ciuitas quadrangula, quae habet in uno latere pedes mille centum;
et in alio latere pedes mille; et in fronte pedes DC, et in altera
pedes DC. Volo ibidem tecta domorum ponere, sic, ut habeat unaquaeque
casa in longitudine pedes XL, et in latitudine pedes XXX. Dicat,
qui uelit, quot casas capere debet.
Solutio
Si
fuerint duae huius ciuitatis longitudines iunctae, facient ¬I¬IC.
Similiter duae, si fuerint latitudines iunctae, faciunt ¬ICC.
Ergo duc mediam de ¬ICC, faciunt DC, rursusque duc mediam
de ¬I¬IC, fiunt ¬IL. Et quia unaquaeque domus habet
in longitudine pedes XL, et in lato XXX: deduc quadragesimam partem
de mille L, fiunt XXVI. Atque iterum assume tricesimam de DC,
fiunt XX. Vicies ergo XXVI ducti fiunt DXX. Tot domus capiendae
sunt.
XXVIII.
PROPOSITIO DE CIVITATE TRIANGVLA.
Est
ciuitas triangula, quae in uno habet latere pedes C, et in alio
latere pedes C, et in fronte pedes XC, uolo enim ibidem aedificia
domorum construere, sic tamen, ut unaquaeque domus habeat in longitudine
pedes XX, et in latitudine pedes X. Dicat, qui potest, quot domus
capi debent?
Solutio
Duo
igitur huius ciuitatis latera iuncta fiunt CC, atque duc mediam
de CC, fiunt C. Sed quia in fronte habet pedes XC, duc mediam
de XC, fiunt XLV. Et quia longitudo uniuscuiusque habet pedes
XX, et latitudo ipsarum pedes X, duc XX partem in C, fiunt V.
Et pars decima quadragenarii IV sunt. Duc itaque quinquies IIII,
fiunt XX. Tot domos huiusmodi captura est ciuitas.
XXVIIII.
PROPOSITIO DE CIVITATE ROTVNDA.
Est
ciuitas rotunda quae habet in circuitu pedum VIII millia. Dicat,
qui potest, quot domos capere debet, ita ut unaquaeque habeat
in longitudine pedes XXX, et in latitudine pedes XX?
Solutio
In
huius ciuitatis ambitu VIII millia pedum numerantur, qui sesquialtera
proportione diuiduntur in ¬I¬I¬I¬IDCCC, et
in ¬I¬I¬ICC. In illis autem longitudo domorum;
in istis latitudo uersatur. Subtrahe itaque de utraque summa medietatem,
et remanet de maiori IICCCC: de minore uero ¬IDC. Hos igitur
¬IDC diuide in uicenos et inuenies octagies uiginti, rursumque
maior summa, id est, ¬I¬ICCCC, in XXX partiti, octoagies
triginta dinumerantur. Duc octoagies LXXX, et fiunt VI milia CCCC.
Tot in huiusmodi ciuitate domus, secundum propositionem supra
scriptam, construi possunt.
XXX.
PROPOSITIO DE BASILICA.
Est
Basilica, quae habet in longtudine pedes CCXL, et in lato pedes
CXX. Laterculi uero stratae eiusdem unus laterculus habet in longitudine
uncias XXIII, hoc est, pedem unum et XI uncias. Et in latitudine
uncias XII, hoc est, pedem I. Dicat, qui uelit, quot laterculi
eandem debent implere?
Solutio
CXL
pedes longitudinis implent CXXVI laterculi; et CXX pedes latitudinis
CXX laterculi; quia uniusquisque laterculus in latitudine pedis
mensuram habet. Multiplica itaque centum uicies CXXVI, in ¬X¬VCXX
summa concrescit. Tot igitur in huiusmodi basilica laterculi pauimentum
contegere possunt.
XXXI.
PROPOSITIO DE CANAVA.
Est
canaua, quae habet in longitudine pedes C, et in latitudine pedes
LXIIII. Dicat, qui potest, quot cupas capere debet? ita tamen,
ut unaquaeque cupa habeat in longitudine pedes VII, et in lato,
hoc est in medio pedes IIII, et peruius unus habeat pedes IIII.
Solutio
In
centum autem quaterdecies VII numerantur, in LXIIII uero sedecies
quaterni continentur, ex quibus IIII ad peruium reputantur, quod
in longitudinem ipsius canauae ducitur. Quia ergo in LX quindecies
quaterni sunt; et in centum quaterdecies septeni; duc\quindecies
XIIII, fiunt CCX. Tot cupae iuxta suprascriptam magnitudinem in
huiusmodi canaua contineri possunt.
XXXII.
PROPOSITIO DE QVODAM PATREFAMILIAS.
Quidam
paterfamilias habuit familias XX. Et iussit eis dare de annona
modios XX. Sic iussit, ut uiri acciperent modios ternos, et mulieres
binos, et infantes singula semodia. Dicat, qui potest, quot uiri,
aut quot mulieres, uel quot infantes esse debent?
Solutio
Duc
semel ternos, fiunt III, hoc est, unus uir III modios accepit.
Similiter et quinquies bini, fiunt X, hoc est, quinque mulieres
acceperunt modia X. Duc uero septies binos, fiunt XIIII, hoc est
XIIII infantes acceperunt modios VIII. Iunge ergo I et V et XIV,
fiunt XX. Hae sunt familiae XX. Ac deinde iunge III et VII et
X, fiunt XX, haec sunt modia XX. Sunt ergo simul familiae XX,
et modia XX.
XXXIII.
PROPOSITO DE ALIO PATREFAMILIAS EROGANTE SVAE FAMILIAE ANNONAM.
Quidam
paterfamilias habuit familias XXX, quibus iussit dari de annona
modios XXX. Sic uero iussit, ut uiri acciperent modios ternos,
et mulieres binos et infantes singula semodia. Soluat, qui potest,
quot uiri, aut quot mulieres, quotue infantes fuerunt?
Solutio
Si
duxeris ternos ter, fiunt VIIII. Et si duxeris quinquies binos,
fiunt X, ac deinde duc uicies bis semis, fiunt XI, hoc est, uiri
III acceperunt modia VIIII, et quinque mulieres acceperunt X,
et XXII infantes acceperunt XI modia. Simul iuncti III et V, et
XXII faciunt familias XXX. Rursusque VIIII et XI, et X, simul
iuncti faciunt modia XXX. Quod sunt simul familiae XXX, et modii
XXX.
XXXIV.
PROPOSITIO ALTERA DE PATREFAMILIAS PARTIENTE FAMILIAE SVAE ANNONAM.
Quidam
paterfamilias habuit familias C, quibus praecepit dare de annona
modios C, eo uero tenore, ut uiri acciperent modios ternos, mulieres
binos, et infantes singula semodia. Dicat ergo, qui ualet, quot
uiri, quot mulieres, aut quot infantes fuerunt?
Solutio
Vndecim
terni fiunt XXXIII. Et XV bis ducti fiunt XXX, id est, XI uiri
acceperunt XXXIII modios; et XV mulieres acceperunt XXX et LXXIIII
infantes acceperunt XXXVII, qui simul iuncti, id est, XI et XV,
et LXXIIII fiunt C, quae sunt familiae C. Similiter iunge XXXIII,
et XXX et XXXVII faciunt C, qui sunt modii C. His ergo simul iunctis
habes familias C et modios C.
XXXV.
PROPOSITIO DE OBITV CVIVSDAM PATRISFAMILIAS.
Quidam
paterfamilias moriens reliquit infantes, et in facultate sua,
solidorum DCCCCLX [Bed., DCCCLX], et uxorem praegnantem. Qui iussit,
ut si ei masculus nasceretur, acciperet de omni massa dodrans,
hoc est, uncias VIIII. Et mater ipsius acciperet quadrans, hoc
est, uncias III. Si autem filia nata esset, acciperet septunx,
hoc est, VII [Bed. V] uncias, et mater ipsius acciperet quincunx,
hoc est, V uncias. Contigit autem ut geminos parturiret, id est,
puerum et puellam. Soluat, qui potest, quantum accepit mater,
et quantum filius, quantumue filia?
Solutio
Iunge
ergo VIIII et III, fiunt XII, XII namque unciae libram faciunt.
Rursusque iunge similiter VII et V, fiunt iterum XII. Ideoque
bis XII faciunt XXIIII, XXIIII autem faciunt duas libras, id est,
solidos XL. Deinde ergo [duc] per uicesimam quartam partem DCCCCLX
solidos, et uicesima quarta pars eorum fiunt XL. Deinde duc, quia
facit dodrans siue dodrans, XL in nonam partem, ideo nouies XL
accepit filius, hoc est, XVIII libras, quae faciunt solidos CCCLX.
Et quia mater tertiam partem contra filium accepit, et quintam
contra filiam, III et V, fiunt VIII. Itaque duc, quia legitur,
quod faciat bis seu bisse XL in parte octaua; octies ergo XL accepit
mater, hoc est, libras XVI, quae faciunt solidos CCCXX. Deinde
duc, quia legitur, quod faciat septunx, XL in VII partibus: postea
duc septies XL, fiunt XIIII librae, quae faciunt solidos CCLXXX,
hoc filia accepit. Iunge ergo CCCLX et CCCXX et CCLXXX, fiunt
DCCCCLX solidi et XLVIII librae.
XXXVI.
PROPOSITIO DE SALVTATIONE CVIVSDAM SENIS AD PVERVM.
Quidam
senior salutauit puerum, cui et dixit: Viuas fili, uiuas, inquit,
quantum uixisti, et aliud tantum, et ter tantum. Addatque tibi
Deus unum de annis meis, et impleas annos centum. Soluat, qui
potest, quot annorum tunc tempore puer erat?
Solutio
In
eo uero, quod dxit, uiuas, quantm uixisti, uixerat ante annos
VIII et menses tres: et aliud tantum fiunt anni XVI et menses
VI, et alterum tantum fiunt anni XXXIII, qui ter multiplicati
fiunt anni XCVIIII, unum ipsis additum fiunt C.
XXXVII.
PROPOSITIO DE QVODAM HOMINE VOLENTE AEDIFICARE DOMVM.
Homo
quidam uolens aedificare domum locauit artifices VI, ex quibus
V magistri et unus discipulus erat, et conuenit inter eum, qui
aedificare uolebat, et artifices, ut per singulos dies XXV denarii
eis in mercede darentur, sic tamen, ut discipulus medietatem de
eo, quod unus ex magistris accipiebat, acciperet. Dicat, qui potest,
quantum unusquisque de illis per unamquamque diem accepit?
Solutio.
Tolle
primum XXII denarios et diuide eos in VI partes. Sic unicuique
de magistris, qui quinque sunt, IIII denarios; nam quinquies quatuor
XX sunt. Duos, qui remanserunt, quae est medietas de uno, tolle
et da discipulo; et sunt adhuc III denarii residui; quos sic distribues.
Fac de unoquoque denario partes XI, ter undecim fiunt XXXIII,
tolle illas triginta partes, diuide eas inter magistros V. Quinquies
seni fiunt XXX. Accidunt ergo unicuique magistro partes VI. Tolle
tres partes, quae super XXX remanserunt, quod est inedietas senarii,
et da discipulo.
XXXVIII.
PROPOSITIO DE QVODAM EMPTORE IN ANIMALIBVS CENTVM.
Voluit
quidam homo emere animalia promiscua C de solidis C, ita ut equus
tribus solidis emeretur; bos uero in solido I, et XXIIII oues
in sol. I. Dicat, qui ualet, quot caballi, uel quot boues, quotue
fuerunt oues?
Solutio
Duc
ter uicies tria [I.e., ter XXIII] I, fiunt LXVIIII. Et duc bis
uicies quatuor [I.e., bis XXIIII], fiunt XLVIII. Sunt ergo caballi
XXXIII, et solidi LXVIIII. Et oues XLVIII, et solidi II. Et boues
XXVIIII, in solidis XXVIIII. Iunge ergo XXIII et XLVIII et XXVIIII,
fiunt animalia C. Ac deinde iunge LXVIIII et II et XXVIIII, fiunt
solidi C. Sunt ergo simul iuncta animalia C, et soldi C.
XXXVIIII.
PROPOSITIO DE QVODAM EMPTORE IN ORIENTE.
Quidam
homo uoluit de C solidis animalia promiscua emere C in oriente;
qui iussit famulo suo, ut camelum V solidis acciperet; asinum
solido I. XX oues in solido compararet. Dicat, qui uult, quot
cameli, uel asini, siue oues in negotio C solidorum fuerunt?
Solutio
Si
duxeris X nouies, [et] V fiunt XCV, hoc est, cameli XVIIII sunt
empti in solidis XCV. Adde cum ipsis unum, hoc est, in solido
I asinum I, fiunt XCVI. Ac deinde duc uicies quater, fiunt LXXX,
hoc est, in quatuor solidis oues LXXX. Iunge ergo XVIIII et I
et LXXX, fiunt C. Haec sunt animalia. Ac deinde iunge XCV, et
I et IIII, fiunt solid. C. Simul ergo iuncti faciunt pecora C,
et solidos C.
XL.
PROPOSITIO DE HOMINE ET OVIBVS IN MONTE PASCENTIBVS.
Quidam
homo udit de monte oues pascentes, et dixit, utinam haberem tantum,
et aliud tantum et medietatem de medietate, et de hac medietate
aliam medietatem, atque ego centesimus una cum ipsis ingrederer
meam domum. Soluat, qui potest, quot oues uidit ibidem pascentes?
Solutio
In
hoc ergo, quod dixit; haberem tantum; XXXVI oues primum ab illo
uisae sunt. Et aliud tantum fiunt LXXII, atque medietas de hac
uidelicet medietate, hoc est, de XXXVI, fiunt X et VIII. Rursusque
de hac secunda scilicet medietateassumpta medietas, id est, de
XVIII fiunt VIIII. Iunge ergo XXXVI et XXXVI, fiunt LXXII. Adde
cum ipsis XVIII, fiunt XC. Adde uero VIIII cum XC, fiunt XCVIIII.
Ipse uero homo cum ipsis additus erit centesimus.
XLI.
PROPOSITIO DE SODE ET SCROFA.
Quidam
Paterfamilias stabiliuit curtem nouam [quadrangulam], in qua posuit
scrofam, quae peperit porcellos VII in media sode, qui una cum
matre, quae octaua est [F. add., octo sunt], pepererunt igitur
unusquisque in omni angulo VII. Et ipsa iterum in media sode cum
omnibus generatis peperit VII. Dicat, qui uult, una cum matribus
quot porci fuerunt?
Solutio
In
prima igitur parturitione, quae fuit facta in media sode, fuerunt
porcelli VII, et mater eorum octaua. Octies igitur octo ducti
fiunt LXIIII. Tot porcelli una cum matribus fuerunt in I angulo.
Ac deinde sexagies quater octo ducti fiunt DXII. Tot cum matribus
suis porcelli in angulo II. Rursusque DXII octies ducti fiunt
¬I¬I¬I¬I XCVI. Tot in tertio angulo cum matribus
suis fuerunt. Qui si octies multiplicentur, fiunt ¬X¬X¬X¬I¬I
DCCLXXXVIII, tot cum matribus in quarto fuerunt angulo. Multiplica
quoque octies ¬X¬X¬X¬I¬I DCCLXXXVIII,
fiunt ¬C¬C¬L¬X¬I¬I et CCCIIII. Tot
enim creuerunt, cum in media sode nouissime partum fecerunt.
XLII.
PROPOSITIO DE SCALA HABENTE GRADVS CENTVM.
Est
scala una habens gradus C. In primo gradu sedebat columba una:
in secundo duae; in tertio tres; in quarto IIII; in quinto V.
Sic in omni gradu usque ad centesimum. Dicat, qui potest, quot
columbae in totum fuerunt?
Solutio
Numerabitur
autem sic: a primo gradu in quo una sedet, tolle illam, et iunge
ad illas XCVIIII, quae nonagesimo [nono] gradu consistunt, et
erunt C. Sic secundum ad nonagesimum octauum et inuenies similiter
C. Sic per singulos gradus, unum de superioribus gradibus, et
alium de inferioribus, hoc ordine coniunge, et reperies semper
in binis gradibus C. Quinquagesimus autem gradus solus et absolutus
est, non habens parem; similiter et centesimus solus remanebit.
Iunge ergo omnes et inuenies columbas ¬V L.
XLIII.
PROPOSITIO DE PORCIS.
Homo
quidam habuit CCC porcos, et iussit, ut tot porci numero impari
in III dies occidi deberent. Similis est et de XXX sententia.
Dicat, qui potest, quot porci impares siue de CCC siue de XXX,
inter tres dies [ter] occidendi sunt? Haec ratio indissolubilis
ad increpandum composita est.
Solutio
Ecce
fabula! quae a nemini solui potest, ut CCC porci, siue triginta
in tribus diebus impari numero occidantur. Haec fabula est tantum
ad pueros increpandos.
XLIIII.
PROPOSITIO DE SALVTATIONE PVERI AD PATREM.
Quidam
puer salutauit patrem; aue, inquit, pater! Cui pater: ualeas fili!
uiuas, quantum uixisti, quos annos geminatos triplicatos [Bed.,
triplicabi]; et sume unum de annis meis; et habebis annos C. Dicat,
qui potest, quot annorum tunc tempore puer erat?
Solutio
Erat
enim puer annorum XVI, et mensium VI, qui geminati cum mensibus
fiunt anni XXXIII, qui triplicati fiunt XCVIIII. Additio uno patris
anno C apparent.
XLVI.
PROPOSITIO DE SACCVLO AB HOMINE INVENTO.
Quidam
homo ambulans per uiam inuenit sacculum cum talentis duobus. Hoc
quoque alii uidentes dixerunt ei: frater da nobis portionem inuentionis
tantum [Bed., tuae]. Qui renuens noluit eis dare. Ipsi uero irruentes
diripuerunt sacculum, et tulit sibi quisque solidos quinquaginta.
Et ipse postquam uidit se resistere non posse, misit manum et
rapuit solidos quinquaginta. Dicat, qui uult, quot homines fuerunt?
Solutio
Apud
quosdam talentum LXXII [F. l. LXXV] uel pondo uel habet libras.
Libra uero habet solidos aureos LXXII. Sexagies quinquies LXXII
ducti fiunt ¬V CCCC, qui numerus duplicatus fiunt decies
[Suppl., mille] DCCC. In X millibus et octingentis sunt quinquagenarii
CCXVI. Tot homines idcirco fuerunt.
XLVII.
PROPOSITIO DE EPISCOPO QVI IVSSIT XII PANES DIVIDI.
Quidam
Episcopus iussit XII panes diuidi in Clero. Praecepit enim sic
ut singuli Presbyteri binos acciperent panes; Diaconus dimidium,
Lector quartam partem: ita tamen fiat, ut Clericorum et panum
unus sit numerus. Dicat, qui uult, quot Presbyteri, uel quot Diacones,
aut quot Lectores esse debent?
Solutio
Quinquies
bini fiunt X, id est, V presbyteri decem panes receperunt: et
diaconus unus dimidium panem: et inter lectores VI habuerunt panem
et dimidium. Iunge V et I et VI in simul, et fiunt XII. Rursusque
iunge X et semis et unum et semis, fiunt XII. Et illi sunt XII
panes; qui simul iuncti faciunt homines XII et panes XII. Vnus
est ergo numerus clericorum et panum.
XLVIII.
PROPOSITIO DE HOMINE QVI OBVIAVIT SCHOLARIBVS.
Quidam
homo obuiauit scholaribus, et dixit eis: quanti estis in schola?
Vnus ex eis respondit dicens: Nolo hoc tibi dicere, tu numera
nos bis, multiplica ter; tunc diuide in quatuor partes. Quarta
pars numeri, si me addis cum ipsis, centenarium explet numerum.
Dicat, qui potest, quanti fuerunt, qui pridem obuiauerunt ambulanti
per uiam?
Solutio
Terties
ter bini [Id est, bis XXXIII] fiunt LXVI: tant erant, qui pridem
obuiauerunt ambulanti; qui numerus bis ductus CXXXII reddit. Hos
multiplica ter, fiunt CCCXCVI, horum quarta pars XCVIIII sunt.
Adde puerum respondentem et reperies C.
XLVIIII.
PROPOSITIO DE CARPENTARIIS.
Septem
carpentarii septenas rotas fecerunt. Dicat, qui potest, quot carrae
rexerunt [Bed., quod carra fecerunt]?
Solutio
Duc
septies VII fiunt XLVIIII, tot rotas fecerunt. XII uero quater
ducti XLVIII reddunt. Super XL et VIIII rotas XII carra sunt erecta
et una superfuit rota.
L.
PROPOSITIO DE VINO IN VASCVLIS.
Centum
metra uini, rogo, ut dicat, qui uult, quot sextarios capiunt?
uel ipsa etiam centum metra quot meros habent?
Solutio
Vnum
metrum capit sectarios XL et VIII. Duc centies XLVIII, fiunt quatuor
milia DCCC. Tot sextarii sunt. Similiter et unum metrum habet
meros CCLXXXVIIII, duc centies CCLXXXVIIII fiunt ¬X¬X¬V¬I¬I¬I
DCCCC. Tot sunt meri.
LI.
PROPOSITIO DE VINI IN VASCVLIS A QVODAM PATRE DIVISIONE.
Quidam
paterfamilias moriens dimisit IIII filiis, IIII uascula uini:
in primo uase erant modia XL; in secundo XXX; in tertio XX; et
in quarto X; qui uocans dispensatorem domus suae ait: Haec quatuor
uascula cum uino intrinsecus manente diuide inter quatuor filios
meos; sic tamen, ut unicuique eorum una sit portio tam in uino,
quam in uasis. Dicat, qui intelligit, quomodo diuidendum est,
ut omnes aequaliter ex hoc accipere possint?
Solutio
In
primo siquidem uasculo fuerunt modia XL, in secundo XXX, in tertio
XX, in quarto X. Iunge igitur XL et XXX et XX et X, fiunt C. Tunc
deinde centenarium idcirco numerum per quartam diuide partem.
Quarta namque pars centenarii XXV reperitur, qui numerus bis ductus
quinquagenarium de se reddit numerum. Eueniunt ergo unicuique
filio in portione sua XXV modia; et inter duos L. In primo XL,
et in quarto sunt modii X, hi iuncti faciunt L, hoc dabis inter
duos. Similiter iunge XXX et XX modia, quae fuerunt in secundo
et tertio uascula, et fiunt L et hoc quoque, similiter ut superius,
dabis inter duos, et habebunt singuli XXV modia; eritque id faciendo
singlorum aequa filiorum diuisio, tam in uino, quam et in uasis.
LII.
PROPOSITIO DE HOMINE PATERFAMILIAS.
Quidam
paterfamilias iussit XC modia frumenti de una domo sua ad alteram
deportari; quae distabat leucas XXX: ea uero ratione, ut uno camelo
totum illud frumentum deportaretur in tribus subuectionibus, et
in unaquaque subuectione XXX modia portarentur: camelus quoque
in unaquaque leuca comedat modium unum. Dicat, qui uelit, quot
modii residui fuissent?
Solutio
In
prima subuectione portauit camelus modios XXX super leucas X,
et comedit in unaquaque leuca modium unum, id est, modios XX comedit
et remanserunt X. In secunda subuectione similiter deportauit
modios XXX et ex his comedit XX, et remanserunt X, in tertia uero
subuectione fecit similiter; deportauit modios XXX, et ex his
comedit XX, et remanserut X. Sunt uero de his, qui remanserunt,
modia XXX, et de itinere leucae X. Quos XXX, in quarta subuectione
domum detulit, et ex his X in itinere comedit, et remanserunt
de tota illa summa modia tantum XX.
LIII.
PROPOSITIO DE HOMINE PATREFAMILIAS MONASTERII XII MONACHORVM.
Quidam
Pater Monasterii habuit XII monachos, qui uocans dispensatorem
domus suae dedit illis oua CCIIII, iussitque, ut singulis aequalem
daret ex eis portionem. Sic tamen iussit, ut inter V presbyteros
daret oua LXXXV [et inter quatuor Diaconos LXVIII, et inter tres
Lectores LI]. Dicat, rogo, qui ualet, quot oua unicuique ipsorum
in portionem uenerunt, ita ut in nullo nec superabundet numerus,
nec minuatur; sed omnis, ut supra diximus, aequalem in omni accipiat
portionem?
Solutio
Ducentos
igitur quatuor per XII partem diuide. Horum quippe pars XII in
septima decima resoluitur parte; quia siue duodecies XVII, siue
decies septies XII miseris, CCIIII reperies. Sicut enim octogenarius
quintus numerus septimum decimum quinarium [Leg., quinarie] reddit
numerum de se, ita et sexagenarius octauus quadrifarie, et quinquagesimus
primus trifarie. Iunge V et IIII et III, fiunt XII. Isti sunt
homines XII. Rursusque iunge LXXXV et LXVIII et LI, fiunt CCIIII.
Haec sunt oua CCIIII. Veniunt ergo singulorum ex his in partes
oua XVII per duodecimam partem. Septimum decimum aequa lance diuidi
fiunt.
|
Propositiones,
Beatus Flaccus Albinus seu Alcuinus © Archimedes Lab |
|
|
|